Encontrar una base y una dimensión para el espacio vectorial $V=\bigl\{f(x)\in\mathbb{R}[x];\ \deg f<5,\ f''(0)=f(1)=f(-1)=0\bigr\}.$

Question

$$V=\bigl\{f(x)\in\mathbb{R}[x];\ \deg f<5,\ f''(0)=f(1)=f(-1)=0\bigr\}.$$

NOTA: El grado es estrictamente menos de 5 no igual. También mi profesor y T.A. dijo que debería hacer $f(1)=f(-1)$ entonces resolverlo entonces hacer $f''(0)=0$ en algún lugar de la línea, pero no entiendo cómo hacerlo de esa manera.

¡¡¡POR FAVOR!!! Puede alguien resolverlo haciéndolo así y no usando matrices porque para estas preguntas no hace falta usar matrices para resolverlo.

Answer 1

Una pista:

Escriba $$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_4x^4. $$ Encuentre las relaciones entre los $a_i$ que utiliza $$f''(0)=f(1)=f(-1)=0.$$ Por ejemplo, ¿qué se puede saber por $f(1)=0$ ?

Una vez que se tienen las relaciones (precisamente, ecuaciones lineales) para estos $a_i$ se obtendría un subespacio de $\mathbb{R}^5$ La dimensión de la cual es lo que está buscando.

Answer 2

Porque $f(1)=0,$ ya sabes $x-1$ es un factor de $f(x).$ Porque $f(-1)=0,$ ya sabes $x+1$ es un factor de $f(x).$ Por lo tanto, $(x-1)(x+1)=x^2-1$ es un factor de $f(x).$

Sabiendo que $f(x)$ es un polinomio de grado máximo $4,$ y tiene un factor de $x^2-1,$ debemos tener $f(x)=(x^2-1)(ax^2+bx+c)$ para algunas constantes $a,$ $b,$ y $c.$

Consideremos ahora la segunda derivada de $f(x)$ ; es un polinomio de grado dos o menos, algo de la forma $g(x)=px^2+qx+r,$ y el valor de $r$ es un múltiplo del coeficiente de $x^2$ en $f(x).$ Pero sabemos que $g(0)=0,$ así que $r=0.$ Por lo tanto, el coeficiente de $x^2$ en $f(x)$ es cero.

Calcula el coeficiente de $x^2$ en $f(x)$ en términos de $a,$ $b,$ y $c.$ (Pista: $b$ no interviene). Expresa el hecho de que este coeficiente es cero. El resultado será una ecuación que te permitirá eliminar $a$ o $c.$

Para recapitular: $f(1)=f(-1)=0$ le permite factorizar $f(x),$ dejando sólo tres parámetros desconocidos, y $f''(0)=0$ te da una relación entre esas incógnitas, permitiéndote reducirlas a dos.

Creo que escribir $f(x)$ en su forma factorizada hace que sea especialmente sencillo reescribirlo como una combinación lineal de dos polinomios.