¿Cuál es la intuición física para simpléctica estructuras?

Question

Siempre he pensado acerca de simpléctica formas como elementos de las áreas en poco subespacios, debido al teorema de Darboux, sin embargo no puedo conseguir la intuición física para él y para el campo vectorial hamiltoniano.

Para simplificar las cosas, vamos a considerar el espacio de configuración $TQ$, sabemos que $T^{*}Q$ siempre tienen una estructura simpléctica poniendo $\omega = d\theta$ donde $\theta = \sum p_i dq_i$ es el de Liouville de una forma, entonces el campo vectorial hamiltoniano es definido por $\omega(X_H, Y) = dH(Y)$, y puede cambiar en el Lagrangiano $L : TQ \longrightarrow \mathbb{R}$ a la de hamilton $H :T^{*}Q \longrightarrow \mathbb{R}$ por la masa (1, 1)-tensor $M=M_i^j$. Entonces, ¿qué es la intuición física para $\omega$, $X_H$ y $\theta$? ¿Por qué la gente utiliza una estructura simpléctica en mecánica (si es para definir $X_H$, ¿cuál es la utilidad de $X_H$?)? Además es la única utilidad en el cambio de la de lagrange para el hamiltoniano de la existencia de una forma simpléctica en $T^{*}Q$?

Answer 1

Si se considera el espacio de fase (el espacio de los datos iniciales) ${\cal{M}}$ de un sistema clásico que puede ser visto como la cotangente del paquete de $T^{*}Q$ del espacio de configuración $Q$.

Como dices, este paquete tiene un natural de la estructura simpléctica $\omega:T{\cal{M}}\times T{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$. Ahora, dado un Hamiltoniano $H:{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$ como dices usando la inversa de la estructura simpléctica podemos obtener el campo de vectores Hamiltoniano $X_{H}=\omega^{-1}(dH,.):T^{*}{\cal{M}}\rightarrow \mathbb{R}$.

Vamos a considerar ahora coordina $(q_{1},..,q_{n})$$Q$. Este conjunto de coordenadas que dan lugar a un conjunto natural de coordenadas $(q_{1},..,q_{n};p_{1},..,p_{n})$ ${\cal{M}}$ tomando $(p_{1},..,p_{n})$ a los componentes de la cotangente de los vectores de coordenadas de la base asociada con $(q_{1},..,q_{n})$.

La forma simpléctica, a continuación, toma la forma $\omega=\sum_{\mu}dp_{\mu}\wedge dq_{\mu}$ y el inverso toma la forma $\omega^{-1}=\sum_{\mu}(\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q}_{\mu})$.

Entonces el campo vectorial hamiltoniano se denota por:$X_{h}=\sum_{\mu}(\frac{\partial H}{\partial q}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial p}_{\mu})-(\frac{\partial H}{\partial p}_{\mu})\otimes (\frac{\partial}{\partial q_{\mu}})$.

Si usted se considera ahora una parte integral de la curva de este vector campo, lo cual significa que la curva de $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow {\cal{M}}$ satisface $\frac{d \alpha}{dt}=X_{h}$

Obtenemos

$$\frac{dq_{\mu}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{\mu}}\\ \frac{dp_{\mu}}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\mu}}$$

que son la ecuación de Hamilton.

Por otra parte, podemos definido el corchete de poisson de dos clásicos observables como $\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)$ que satisface para las coordenadas $\{q_{\mu},q_{\nu}\}=0,\{p_{\mu},p_{\nu}\}=0,\{q_{\mu},p_{\nu}\}=\delta_{\nu\mu}$. Como se puede ver, estas relaciones son similares a las observables en QM. De hecho, hay un montón de cuantización de los procedimientos de las teorías clásicas, donde este es el punto de partida.

Por último, se puede definir la acción clásica cuando el Hamiltoniano no depende del tiempo como $S=\int\theta$ con la integral se entiende que deben tomarse durante el colector definido por la celebración de la energía $E$ constante: $H=E=$const.

Aquí hay dos imágenes que podrían ayudar de Roger Penrose es El Camino de la realidad:

Las curvas que tiene como vectores tangente el Hamiltoniano de flujo son las soluciones a las ecuaciones de movimiento del sistema.