$i$ se define como la raíz cuadrada de $-1$ . Me preguntaba si a partir de los números reales se puede llegar a otros sistemas numéricos distintos de los números complejos mediante un proceso similar. Como un número cuyo $\sin$ es $1.5$ o algo así.
Respuestas
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Mark Fischler
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Su pregunta tiene dos tipos de respuestas distintas.
La primera respuesta es que el campo numérico complejo hace muchas cosas que ingenuamente se podría pensar que se necesitan más extensiones para hacerlo. Por ejemplo, no es necesario salir de los números complejos para encontrar $\sqrt{i}$ que no es más que $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ .
De hecho, $$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - i\log\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\right)= \frac32 = 1.5 $$ para satisfacer la curiosidad de su pregunta inmediata.
La otra respuesta es que, por diversas razones, los matemáticos hacer introducir campos más allá de los números complejos. Un buen ejemplo son los cuaterniones, que pueden representarse como combinaciones lineales de cuatro números especialmente elegidos $2\times 2$ matrices. Los cuaterniones pueden utilizarse para representar los efectos de las rotaciones en los sistemas, por ejemplo. Son un ejemplo de campo no abeliano (es decir, la multiplicación de cuaterniones no conmuta).
kremerd
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98
Otros han señalado que hay sistemas numéricos que amplían la números reales aún más que los números complejos. Si se quiere generalizar la construcción de $i$ Sin embargo, sugiero retroceder un poco y considerar los sistemas numéricos que amplían el números racionales . Hay bastantes de ellos y el proceso utilizado para construirlos generaliza la construcción de $\mathbb C$ de $\mathbb R$ muy bien. (Los números que se obtienen de esta manera siempre se pueden considerar como elementos de $\mathbb C$ )
Por ejemplo, puede querer añadir un número $\xi$ al conjunto de los números racionales, tal que $\xi^2=2$ . Si todavía quieres que la suma y la multiplicación funcionen sin problemas para todos los números, tendrás que añadir más números a tu conjunto como $3\xi$ o $\frac1\xi$ . Al final el conjunto que has construido estará formado por todas las sumas formales $a + b\xi$ con $a$ y $b$ siendo números racionales.
Construcciones similares son posibles para $\xi^2$ ser cualquier ¡número racional! Por ejemplo $\xi^2 = 3$ o $\xi^2 = 5$ también dará lugar a sistemas numéricos específicos. En el caso $\xi^2=-1$ , volvemos a la construcción de $i$ .
De forma más general, se pueden construir sistemas numéricos ( campos ) entre sí sumando raíces de un polinomio: En el ejemplo anterior, $\xi$ ha sido una raíz del polinomio $x^2-2$ , mientras que $i$ es una raíz de $x^2+1$ .
Todo este tema se estudia más a fondo en una rama específica del álgebra, llamada teoría del extensiones de campo .
WB-man
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Añadiría a las respuestas que ya se han dado aquí que si te preguntas específicamente si se pueden desarrollar nuevos sistemas numéricos a partir de los números reales o complejos extendiendo alguna operación (como la raíz cuadrada) de forma similar a como $i$ era, entonces realmente no puedes.
Esto se debe a que los números complejos son " completa " en el sentido de que -salvo algunas excepciones- se puede sumar, restar, multiplicar, dividir, exponer, sacar raíces, logaritmos y funciones trigonométricas de cualquier número(s) complejo(s). Dentro de los números reales, es posible que no se pueda sacar la raíz cuadrada de nada; pero dentro de los números complejos, sí; y lo mismo ocurre con las demás operaciones estándar.
Digo "cualquier cosa", pero hay algunas excepciones. Incluso dentro de los números complejos, todavía no se puede dividir por cero, tomar el logaritmo de cero, elevar el cero al cero, y más. Que yo sepa, no se puede realmente extender estas excepciones para hacer un nuevo sistema numérico, porque cualquier extensión de este tipo no se comportaría como un sistema numérico normal (es decir, obedeciendo las bonitas reglas del álgebra a las que todos estamos acostumbrados y que se extienden maravillosa y bellamente al plano complejo desde los reales). Pero la cuestión es que se trata de un conjunto relativamente pequeño de excepciones, por lo que podemos decir que los números complejos son " completa ", a diferencia de los números reales, cuyas excepciones (en el caso de las raíces cuadradas) equivalen a la MITAD del conjunto.
