Si tiro $n$ monedas y se lanza $n + m$ ¿cuál es la probabilidad de que tengas más cabezas?

Question

Mi intuición es que es la probabilidad de que obtengas al menos 1 cabeza en tu extra $m$ lanzamientos. Básicamente en la primera $n$ de ganar, así que ni siquiera los contemos y apostemos sólo por el $m$ extra que tienes.

No he podido formalizar esto. Mi intento más cercano es que esta probabilidad es

$$P(M + N_2 > N_1) = P(M >N_2-N_1)=E[I(M>N_2-N1)]$$

donde $M$ es la variable aleatoria para el número de cabezas en sus monedas adicionales, $N_2$ es para las cabezas en su primer $n$ lanzamientos y $N_1$ para el mío. No sé qué hacer con esa variable indicadora pero creo que la solución pasa por ahí.

Answer 1

Dejemos que $M_2 \sim Bin(n+m, p)$

Dejemos que $N_1 \sim Bin(n,p)$

\begin {align}P(M_2 > N_1)&= \sum_ {i=0}^nP(M_2>N_1|N_1=i)P(N_1=i) \\ &= \sum_ {i=0}^n \sum_ {j=i+1}^{m+n} \binom {m+n}{j}p^j(1-p)^{m+n-j} \binom {n}{i}p^i(1-p)^{n-i} \\ &= \sum_ {i=0}^n \sum_ {j=i+1}^{m+n} \binom {m+n}{j} \binom {n}{i}p^{i+j}(1-p)^{m+2n-i-j} \end {align}

Answer 2

Que el evento $A$ sea el número de cabezas en $n$ evento de flips y let $B$ sea el número de cabezas en $n+m$ voltea. Entonces queremos calcular $\Pr(B>A)$ . Así que condicionamos el valor de $A$ para conseguir $$ \begin{align*} \Pr(B>A)&=\sum_{i=0}^n \Pr(A=i)\cdot Pr(B>i\;|\;A=i)\\ &=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i+1}^{n+m} \Pr(A=i)\cdot \Pr(B=j\;|\;A=i)\\ &=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i+1}^{n+m} \Pr(A=i)\cdot \frac{\Pr(B=j\;\cap\;A=i)}{\Pr(A=i)}\\ &=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i+1}^{n+m} \Pr(A=i)\cdot\Pr(B=j). \end{align*} $$