Intervalos en la teoría de la medida

Question

Estoy repasando el libro de Rosenthal "A First Look at Rigorous Probability Theory" pero estoy atascado en una parte en particular. En la página 9, al construir la distribución uniforme, dice

Parece claro que debemos elegir $\Omega = [0,1]$ . Pero, ¿qué pasa con $\mathcal{F}$ ? Sabemos por la proposición 1.2.6 que $\mathcal{F}$ no puede contener todos los intervalos de $\Omega$ pero sí debe contener todos los intervalos $[a,b],[a,b)$ etc. Es decir, debemos tener $\mathcal{J} \subseteq \mathcal{F}$ , donde $\mathcal{J} = \{\textrm{all intervals contained in [0,1]}\}$

Estoy confundido cuando dice que $\mathcal{F}$ no puede contener todos los intervalos de $\Omega$ pero debe contener todos los intervalos contenidos en $\Omega$ . ¿Cuáles son exactamente los intervalos que no están contenidos en el conjunto $\mathcal{J}$ pero están en el conjunto de todos los intervalos de $\Omega$ ?

Gracias

Answer 1

Suponiendo que se trabaje con la primera impresión, hay una errata que corrige ese error y que se puede encontrar aquí . Debería decir que debido a la proposición $1.2.6$ que $\mathcal{F}$ no puede contener todo el subconjunto de $\Omega$ pero debe contener todos los intervalos.