¿Aplicación del teorema de la función inversa?

Question

No estoy completamente seguro de que esto sea una consecuencia directa del teorema de la función inversa.

Supongamos que tenemos una función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ que podemos escribir en términos de coordenadas $x,y.$

¿El hecho de que $D_2f \neq 0$ significa entonces que también podemos escribir $y$ en función de $x,f$ ?

Me parece que mi pregunta no es del todo rigurosa, ya que $f$ es de nuevo una función que depende de $x,y$ por lo que de alguna manera hay un argumento circular aquí, pero la pregunta es: Asumiendo que sé lo que $x$ y $f(x,y)$ son. ¿Tiene $D_2f \neq 0$ significa que puedo reconstruir lo que $y$ ¿fue?

Answer 1

El teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita son "primos" el uno del otro. Puedes demostrar uno y luego deducir el otro. Tu intuición te guía desde el teorema de la función inversa hacia el teorema de la función implícita.

Su descripción es ligeramente inexacta (pero fácilmente corregible) en el sentido de que una función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ no define por sí mismo $y$ en función de $x$ pero, la relación $f(x,y) = 0$ junto con la condición $D_2(f) \neq 0$ efectivamente determina localmente $y$ en función de $x$ . Puedes buscar, por ejemplo, el libro de Boothby sobre las variedades diferenciables, o, en realidad, muchos libros de geometría diferencial contienen esto.