Todo campo vectorial hamiltoniano real-holomorfo en una variedad de Kähler es Killing (y preserva la curvatura), ¿no?

Question

Siguiendo la notación de Moroianu Conferencias sobre la geometría de Kähler dejamos que $(M,g,\Omega,J)$ denotan la métrica $g$ , forma simpléctica $\Omega$ y estructura compleja $J$ de un colector de Kähler $M$ que satisface la condición de compatibilidad $g(X,Y) = g(JX,JY) = \Omega(X,JY)$ para campos vectoriales $X,Y$ .

Suponiendo además que $V\lrcorner\ \Omega = dH$ para $H$ un potencial hamiltoniano de valor real (explícitamente biholomórfico) $H:M\to\mathbb R$ , tal que V es real-holomorfo (¿es esto correcto?) entonces tenemos inmediatamente las siguientes relaciones de derivación de Lie:

$$ \mathcal{L}_V \Omega = \mathcal{L}_V J = 0\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}_V g = 0 $$

o, de forma equivalente, esta proposición:

Propuesta Todo campo vectorial hamiltoniano real-holomorfo en una variedad de Kähler es Killing.

Esta proposición es (en esencia) una inversa hamiltoniana de la siguiente proposición de Moroianu

Propuesta 9.5 (Moroianu) Todo campo vectorial de Killing en una variedad compacta de Kähler es holomorfo real.

Se plantean tres preguntas concretas:

Q1   ¿Es la propuesta $\mathcal{L}_V g = 0$ ¿es correcto (para los supuestos dados)?

Q2   ¿Dónde se puede encontrar en la literatura?

Q3   ¿Implica "trivialmente" $\mathcal{L}_V \mathcal{R} = 0$ , donde $\mathcal{R}$ es la curvatura escalar?

Nota: Mis cálculos numéricos sugieren $\mathcal{L}_V \mathcal{R} \ne 0$ . El práctico La cuestión es simplemente cuál es el error: el razonamiento formal asociado a la proposición, o el código, o la expectativa "trivial" de que Q3 ¿la respuesta es "sí"?

Las deficiencias en mi comprensión de términos como "real-holomórfico" son plausibles (e incluso probables). Las respuestas/referencias/consejos generales son muy ¡bienvenido!

Answer 1

Si $\mathcal{L}_v J= 0$ y $\mathcal{L}_v \Omega= 0$ entonces $\mathcal{L}_v g=0$ así que $v$ es un campo vectorial matador. En efecto, la propiedad $\mathcal{L}_v J= 0$ es equivalente a la condición de que el flujo (local) flujo de $v$ conserva $J$ y la propiedad $\mathcal{L}_v \Omega= 0$ es equivalente a la condición de que el flujo (local) de $v$ conserva $\Omega$ . Desde $g$ es costructible por $J$ y $\Omega$ si ambos $J$ y $\Omega$ son preservados por el flujo, entonces $g$ también es preservado por el flujo y el campo vectorial es Killing.

Los campos vectoriales hamiltonianos tienen la propiedad $\mathcal{L}_v \Omega= 0$ . Si su definición de ``holomorfo real'' implica $\mathcal{L}_v J= 0$ Entonces la respuesta a tu pregunta es sí, sí, sí, ya, ya, ya.

Answer 2

Llego tarde a la fiesta, pero aquí hay alguna pepita de información extra para que conste. Si $(M,\omega, J,g)$ es Kähler, $\omega(X,Y) = g(JX,Y)$ implica que $$(\mathcal{L}_X\omega)(Y,Z) = (\mathcal{L}_Xg)(Y,Z) + g((\mathcal{L}_XJ)Y,Z),$$ para todos los campos $X,Y,Z \in \mathfrak{X}(M)$ . De ello se desprende que dos de las siguientes condiciones implican conjuntamente la restante: $\mathcal{L}_X\omega = 0$ , $\mathcal{L}_Xg = 0$ , $\mathcal{L}_XJ = 0$ . En otras palabras, dos de las siguientes condiciones juntas implican la restante: $X$ es simpléctica, $X$ está matando, $X$ es real-holomorfo.

Si además suponemos que $M$ es compacto, entonces todo campo de Killing es hamiltoniano y real-holomorfo, pero mientras $X$ real-holomorfo implica $JX$ real-holomorfo, $X$ y $JX$ no son a la vez Matar a menos que $X$ es paralela (con respecto a la conexión Levi-Civita de $g$ ). Véase el segundo capítulo de Múltiples de Einstein de Arthur Besse para más detalles.