Supongamos que $(v_1 ... v_n )$ es linealmente independiente en un espacio vectorial V, y $w \in V$ , si $(v_1 + w,.... v_n +w)$ es linealmente dependiente, entonces $w \in span(v_1 ... v_n)$ .
Todavía estoy cogiendo el tranquillo a las pruebas de álgebra lineal, que tienen una "sensación" diferente a las pruebas de análisis.
Por lo tanto, sabemos que $span (v_1 ... v_n ) = V$ para que tenga sentido que $(v_1 + w,.... v_n +w)$ sería linealmente dependiente.
Porque $w \in V$ sabemos que $w$ debe poder escribirse como: $$w=\sum ^n _{i=1} a_i v_i$$
Pero, ¿cómo se demuestra eso? Si restamos $w$ de $(v_1 + w,.... v_n +w)$ nos quedaría la lista linealmente independiente.
Se agradece un empujón en la dirección correcta.
