Integración del producto interior

Question

Estaba haciendo unos ejercicios de funcionales lineales, entonces me paso horas en un punto de uno de esos ejercicios. Bueno, el primer ítem lo logré. Me cuesta el segundo ítem. De todos modos, los publicaré aquí.

1. En el espacio vectorial tridimensional de polinomios cuadráticos reales en x, defina el funcional lineal $F(f) = \int_0^1 f(x)dx$ . Supongamos que $1, x, x^2$ son una base ortonormal, entonces qué vector A representa esta función F, de modo que $A\cdot v=F(f)$ donde el vector v significa un polinomio cuadrático.

2. En el ejemplo anterior, tomemos el producto escalar como $(f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)dx$ y encontrar el vector que representa el funcional en este caso.

Bueno, estaba haciendo este ejercicio sustituyendo una de las funciones $f$ o $g$ con la base polinómica, es decir, $$(x,g)=\int_{-1}^1x(a+bx+cx^2)dx=(2/3)b=1.$$ Así que pude encontrar $b$ pero no pude encontrar $a$ y $c$ .

Answer 1

En el primer caso, tiene $$ F(a+bx+cx^2)=a+\frac b2+\frac c3=(a+bx+cx^2)\cdot\left(1+\frac x2+\frac {x^2}3\right). $$ En la segunda, tienes $$\tag{1} 1=F(1)=\int_{-1}^1(a+bx+cx^2)=2a+\frac{2c}3, $$ $$\tag{2} \frac12=F(x)=\int_{-1}^1(ax+bx^2+cx^3)=\frac {2b}3, $$ $$\tag{3} \frac13=F(x^2)=\int_{-1}^1(ax^2+bx^3+cx^4)=\frac {2a}3+\frac{2c}5. $$ Desde $(2)$ obtenemos $b=3/4$ . Desde $(1)$ y $(3)$ obtenemos el sistema $$ 6a+2c=3,\ \ \ 10a+6c=5, $$ con solución $a=1/2$ , $c=0$ . Es decir, $$ A=\frac12+\frac{3x}4. $$