En primer lugar, creo que hay un malentendido fundamental sobre el significado o el reflejo del valor Shapley. El valor de Shapley no refleja un hash o una compresión de una partida de UT. Refleja, entre otras cosas, el poder de negociación de los sujetos implicados en un proceso de negociación ficticio de acuerdo con un conjunto de principios objetivos. Los sujetos implicados pueden formar diferentes coaliciones que tienen cierto poder de negociación para asegurar a sus miembros una determinada retribución. Esto se refleja en el valor de la coalición $v(S)$ . La regla de distribución del beneficio global de acuerdo con el valor de Shapley capta el poder de negociación intrínseco de los jugadores representado por los valores de la coalición. Esto significa que el valor de Shapley es un concepto de solución de un juego TU, es decir, un resultado de un juego de negociación coalicional.
Además, el valor Shapley se refiere a normas no discriminatorias y rectas que se aplican incluso en situaciones con socios desiguales. Estas normas definen principios objetivos sobre los que los sujetos pueden estar de acuerdo o no. Este conjunto de principios objetivos determina un reparto justo de los beneficios entre los sujetos. Es decir, el valor Shapley se apoya en un fundamento axiomático al que los sujetos pueden obedecer. La caracterización axiomática del valor de Shapley dada por Shapley (1953) es la siguiente: Eficacia, Simetría, Jugador ficticio y Aditividad (véase un libro de texto para las definiciones exactas). Así, si un conjunto de sujetos se pone de acuerdo para obedecer la regla distributiva dada por esta axiomatización, entonces la ganancia total debe distribuirse de acuerdo con el valor de Shapley. Sin embargo, en caso de que un sujeto proponga una distribución diferente del beneficio, entonces esta propuesta es vulnerable en el sentido de que no refleja la regla de arbitraje acordada. De esta consideración debería resultar obvio que no es necesario que un acuerdo sobre una regla de justicia distributiva tenga que ser vinculante (véase el capítulo 3-4 de mi libro http://www.springer.com/us/book/9783642395482 ).
De la discusión anterior, también debería ser obvio que $\phi$ no es un mapeo biyectivo, y que $\rho$ no es la inversa de $\phi$ . Por lo tanto, no tenemos una dirección inversa particular para $\phi$ . En consecuencia, sólo podemos observar una estrecha relación entre $\phi(\rho(x))$ y $x$ si el juego es, por ejemplo, aditivo. Entonces tenemos $\phi(\rho(x)) = x$ . Como ejemplo, consideremos el vector $x=\{3,7,2,5\}$ el juego aditivo correspondiente es (de orden lexical)
$$ v=[3,7,2,5,10,5,8,9,12,7,12,15,10,14,17], $$
y el valor de Shapley de este juego es de nuevo el vector $x=\{3,7,2,5\}$ .
Además, si tenemos un juego $v$ entonces podemos descomponerlo mediante un enfoque de base lineal en un juego plano $z$ y un juego aditivo $w$ , s.t. $v=z+w$ . El valor Shapley del juego $v$ se puede descomponer por $\phi(v)=\phi(z+w)=\phi(w)$ Por lo tanto $\phi(z)=\mathbf{0}$ . Consideremos como ejemplo el siguiente juego convexo (lexi-orden)
$$ v=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,3,0,2,5],$$
el valor de Shapley de este juego viene dado por $\phi(v)=\{1,5/3,2/3,5/3\}$ .
La descomposición lineal de $v$ produce un juego plano dado por
$$ z=[-1,-5/3,-2/3,-5/3,-8/3,-5/3,-8/3,-7/3,-10/3,-7/3,-10/3,-4/3, -10/3,-2,0], $$
donde el valor de Shapley viene dado por $\phi(z)=\mathbf{0}$ y un juego aditivo
$$ w=[1,5/3,2/3,5/3,8/3,5/3,8/3,7/3,10/3,7/3,10/3,13/3,10/3,4,5], $$
con un valor Shapley de $\phi(w)=\{1,5/3,2/3,5/3\}$ Por lo tanto $\phi(v)=\phi(w)$ . Por lo tanto, en ambos juegos el poder de negociación de los jugadores es similar de acuerdo con la regla de arbitraje representada por el valor de Shapley, y distribuye el beneficio para ambos juegos de la misma manera. Sin embargo, nótese que este no es el caso para el prenucleo. Allí obtenemos $\nu(v)=\{4/3,4/3,1,4/3\}, \nu(z)=\{1/3,1/3,1/3,-1/3 \}$ y $\nu(w)=\{1,5/3,2/3,5/3\}$ respectivamente.
