Equivalencia de dos definiciones diferentes de $s'$

Question

Estaba leyendo Libro de Treves y, en la página 527, definió los siguientes objetos. Una secuencia $\tau = (\tau_{p})_{p\in \mathbb{Z}^{d}}$ es de crecimiento lento si existe un número entero $k \ge 0$ y una constante $C \ge 0$ tal que: $$ (1+|p|)^{-k}|\tau_{p}| \le C $$ por cada $p \in \mathbb{Z}^{d}$ . El espacio de todas las secuencias de crecimiento lento es $s'$ .

Sin embargo, me encontré con una definición diferente de $s'$ que es la siguiente: $s'$ es el espacio de todas las secuencias $\tau = (\tau_{p})_{p\in \mathbb{Z}^{d}}$ satisfactorio: $$\sum_{p\in \mathbb{Z}^{d}}(1+|p|)^{k}|\tau_{p}| < +\infty$$ para algún número entero $k \ge 0$ . Estoy tratando de demostrar que estos espacios son los mismos. Ya he demostrado una implicación, que es:

$(\Rightarrow)$ Supongamos que se cumple la segunda condición. Entonces, como $(1+|p|)^{-k}\le (1+|p|)^{k}$ por cada $p \in \mathbb{Z}^{d}$ entonces: $$(1+|p|)^{-k}|\tau_{p}| \le (1+|p|)^{k}|\tau_{p}| \le \sum_{p\in \mathbb{Z}^{d}}(1+|p|)^{k}|\tau_{p}| < +\infty$$ y se cumple la primera condición. Pero estoy muy atascado probando la inversa. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

NOTA: He intentado encontrar algunas buenas referencias sobre estos espacios de secuencias (el libro de Treves lo introduce brevemente) y sus representaciones alternativas. Por lo tanto, cualquier buena referencia también es bienvenida.

Answer 1

Querías decir $\sum_{p\in \mathbb{Z}^{d}}(1+|p|)^{-k}|\tau_{p}| < +\infty$ lo que implica que $(1+|p|)^{-k}|\tau_{p}|<C$ y a la inversa, si $(1+|p|)^{-k}|\tau_{p}|<C$ entonces $\sum_{p\in \mathbb{Z}^{d}}(1+|p|)^{-k-d-1}|\tau_{p}| < +\infty$ . Este espacio de secuencias polinomialmente acotadas $S'(\Bbb{Z}^d)$ es el dual del espacio de la secuencia rápida decreciente $S(\Bbb{Z}^d)$ , es decir, el mapa $x\to \sum_k x_k \tau_k$ es una función lineal bien definida y continua en la $S(\Bbb{Z}^d)$ topología.