¿Prueba válida de la desigualdad de Young?

Question

Parte de un ejercicio para demostrar la desigualdad de Holder en Rudin implica demostrar la desigualdad de Young... Es decir, dado $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ , demuestre que $$ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$

Aquí está mi intento de prueba:

Dejemos que $$f(x) = \frac{x^p}{p} + \frac{b^q}{q} -bx$$
entonces, $$f'(x) = x^{p-1} -b$$ para que $f$ alcanza un mínimo en $$x=b^{\frac{1}{p-1}}.$$ Desde $\frac{p}{p-1} = q$ Esto equivale a decir que $f$ alcanza su mínimo cuando $x^p = b^q$ . Ahora, necesitamos demostrar que $$f(b^{\frac{1}{p-1}}) = 0.$$ Calculamos
$$ \begin{align} f(b^{\frac{1}{p-1}}) &= \frac{(b^{\frac{1}{p-1}})^p}{p} + \frac{b^q}{q} - bb^{\frac{1}{p-1}} \\ &= \frac{b^q}{p} + \frac{b^q}{q} - b^{\frac{1}{p-1} +1} \\ &= \frac{b^q(p+q)}{pq} - b^{\frac{1}{p-1} +1} \\ &= b^q - b^{\frac{1}{p-1} +1} \\ &= b^q - b^q \\ & = 0 \end{align}$$ donde $b^{\frac{1}{p-1} +1} = b^q$ desde $$\frac{1}{p-1} +1 = \frac{1}{p-1} +\frac{p-1}{p-1} = \frac{p}{p-1} = q.$$ Así, $f(x) = 0$ sólo cuando $x^p = b^q$ . Este es el mínimo global de $f$ desde $f^{''} \geq 0$ y el análisis de la concavidad. Por lo tanto, si $x > b^{\frac{1}{p-1}}$ , $f(x) > 0$ . Es decir, si $x^p > b^q$ la desigualdad se mantiene. Un análisis similar para $g(y) = \frac{a^p}{p} + \frac{y^q}{q} -ay$ muestra que $g(y) > 0$ si $y^q > a^p$ . Combinando estas dos afirmaciones se obtiene que, si $a^p \neq b^q$ la desigualdad se mantiene, así que hemos terminado.

¿Es una prueba válida?

Si es así, si alguien puede aportar alguna prueba alternativa, estaría más que interesado en verla.

Answer 1

Como se ha mencionado anteriormente, la prueba estándar utiliza la concavidad. Dijiste que estabas interesado en otras pruebas, así que aquí está cómo lo aprendí:

En primer lugar, supondremos $a,b \ne 0$ ya que esto se convierte en algo trivial. Una afirmación equivalente a la que queremos demostrar es la siguiente:

$$\frac{a}{b^{q-1}} \le \frac{1}{p} \cdot \frac{a^p}{b^q} + \frac{1}{q}$$

(dividir la desigualdad de Young por $b^q$ ).

Dejemos que $t = \frac{a^p}{b^q}$ . Entonces $t^{\frac{1}{p}} = \frac{a}{b^{q-1}}$ , ya que $\frac{q}{p} = q - 1$ queremos demostrar que

$$t^{\frac{1}{p}} - \frac{1}{p} t \le \frac{1}{q}$$

Dejemos que $f(t) = t^{\frac{1}{p}} - \frac{1}{p} t$ . Entonces $f(1) = 1 - \frac{1}{p} = \frac{1}{q}$ . Si podemos demostrar que este es el máximo de $f(t)$ cuando $t > 0$ hemos terminado.

$$f'(t) = \frac{1}{p} t^{\frac{1}{p} - 1} - \frac{1}{p} = \frac{1}{p} \left(t^{-\frac{1}{q}} - 1\right)$$

Cuando $0 < t < 1$ vemos que $f'(t) > 0$ y de forma similar cuando $t > 1$ vemos que $f'(t) < 0$ . Así, $\frac{1}{q}$ es un máximo local de $f(t)$ y así hemos demostrado que

$$t^{\frac{1}{p}} - \frac{1}{p} t \le \frac{1}{q}$$

Ahora sustituyendo de nuevo $t = \frac{a^p}{b^q}$ conseguimos que la desigualdad de Young salga con algunas manipulaciones algebraicas.