Me encontré con una pregunta en brilliant.org donde se había mencionado que $X, X + 2, X + 4$ son todos números primos para $X = 3$ . Entonces, ¿hay alguna otra $X$ para lo cual $X, X + 2, X + 4$ son todos primos y la respuesta fue no.
Entonces, ¿podemos decir que no puede haber un número infinito de tripletes primos separados por $2$ .
Explique por qué, por favor.
Como han mencionado otros, uno de ellos será divisible por 3.
Para demostrarlo, suponemos que $x$ no es divisible por 3, por lo que será de la forma $x = 3q+1$ o $x = 3q+2$ para algunos $q \in \mathbb N$ .
Si $x = 3q+1$ entonces $x+2 = 3q+3$ Así que $x+2$ es divisible por 3. Si, por el contrario, $x = 3q+2$ entonces $x+4 = 3q+6$ y, por tanto, divisible por 3.
Por lo tanto, exactamente uno de los tres números $x$ , $x+2$ o $x+4$ serán divisibles por 3, por lo que sólo pueden ser todos primos si $x = 3$ .
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