En realidad, la función $x=\sqrt{y-1}$ es no lo mismo que la función $y=x^2+1$ .
La función $y=x^2+1$ no es uno a uno. Para definir la inversa, se está restringiendo a la región de la función en la que $x\geq 0$ . Así que $x=\sqrt{y-1}$ es la inversa de $y=x^2+1,\ x\geq 0$ pero no de la función general.
(Visto de otra manera: su primera integral es para valores de $x$ que están entre $-1$ y $2$ . Pero no valor de $y$ le dará $x\lt 0$ en la fórmula $x=\sqrt{y-1}$ por lo que no se pueden cubrir los mismos "valores" con esa fórmula)
Además, cuando integramos $y=x^2+1$ de, digamos, $x=0$ a $x=2$ (para mantenerlo en una región en la que se pueda hablar de ambas funciones), está calculando el área neta firmada entre las líneas $y=0$ (el $x$ -), la línea $x=0$ la línea $x=2$ y el gráfico $y=x^2+1$ . Sin embargo, cuando se calcula la integral de $x=\sqrt{y-1}$ con respecto a $y$ de $y=0$ a $y=5$ aunque se puede ver como el mismo gráfico que antes, ahora se está calculando la red firmada están entre las líneas $x=0$ (el $y$ =eje), $y=0$ , $y=5$ y el gráfico $x=\sqrt{y-1}$ . Usted está midiendo diferentes áreas .
La suma de las dos áreas debería dar el área del rectángulo delimitado por $x=0$ , $x=2$ , $y=0$ y $y=5$ (es decir, $10$ ).
Por lo tanto, no es de extrañar que obtengas respuestas diferentes: en primer lugar, tu cambio "pierde" toda la información sobre el área bajo $y=x^2+1$ que estaba a la izquierda del $y$ -y, en segundo lugar, las integrales están calculando áreas diferentes (aunque ambas están limitadas por la misma curva). Una calcula el área "debajo" de la curva, la otra integral calcula el área "a la izquierda" de la curva.
