Elegir puntos en una esfera al azar

Question

Supongamos que recogemos$N$ puntos uniformemente al azar en una esfera. La probabilidad de que estos puntos se encuentren dentro de un hemisferio 'fijo' se calcula fácilmente en$1/2^N$. Pero, ¿cuál es la probabilidad de que todos los puntos se encuentren dentro de cualquier hemisferio de la esfera? De hecho, también estoy interesado en esta pregunta para$d$ - hiperesfera dimensional, por lo que el método de cálculo que se extiende a dimensiones superiores será muy apreciado.

Answer 1

Kevin S. Brown demostró en "N puntos en la esfera todos en un hemisferio", que la probabilidad de que $N$ puntos, elegidos uniformemente al azar en una esfera$d$ -dimensional, estén todos en un hemisferio es :

PS