Evaluación de los

Question

Evaluación de$$\int\frac{(1+x^2)(2+x^2)}{(x\cos x+\sin x)^4}dx$ $

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribir$$x\cos x+\sin x= \sqrt{1+x^2}\left\{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \cos x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \sin x\right\}$ $

Entonces obtenemos$$(x\cos x+\sin x) = \sqrt{1+x^2}\cos(x-\alpha)\;,$$ Where $ \ displaystyle \ alpha = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1} {x} \ right) $

Entonces integral$$I = \int\frac{(1+x^2)(2+x^2)}{(1+x^2)^2\cdot \cos^4 (x-\alpha)}dx = \int\frac{(2+x^2)}{(1+x^2)}\cdot \sec^4 (x-\alpha)dx$ $

Ahora, ¿cómo puedo resolver después de eso? Ayúdame

Gracias

Answer 1

Tu integral se convierte en$$I=\int { \frac { \left( 2+{ x }^{ 2 } \right) }{ \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } { \left( \sec { \left( x-\cot ^{ -1 }{ x } \right) } \right) }^{ 4 } } dx$ $

Al sustituir$$\left( x-\cot ^{ -1 }{ x } \right) =t$ $

diferenciando$$dt = \frac { \left( 2+{ x }^{ 2 } \right) }{ \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } dx$ $

La integración se convierte en$$I=\int { { \sec { \left( t \right) } }^{ 4 } } dt$ $

Utilizando : $\quad \quad \sec ^{ 2 }{ \left( x \right) } -\tan ^{ 2 }{ \left( x \right) } =1$

PS

Nuevamente sustituyendo$$I=\int { { \sec { \left( t \right) } }^{ 2 } } \left( { \tan { \left( t \right) } }^{ 2 }+1 \right) dt$ $ PS

La integración se convierte en$$\tan{ \left (t\right)} = u$ $

PS Sustituyendo el valor de u PS

PS