Donde falla el último teorema de Fermat

Question

Es bien sabido que el último teorema de Fermat falla en$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Schur descubrió esto mientras intentaba probar la conjetura sobre$\mathbb{N}$, y la prueba es una aplicación de uno de sus resultados en la teoría de Ramsey, ahora conocido como teorema de Schur.

Me pregunto si hay otros lugares (digamos, dominios de factorización únicos) donde se sabe que la afirmación es falsa.

Answer 1

$$(18+17\sqrt2)^3+(18-17\sqrt2)^3=42^3$$ so Fermat fails for $ n = 3$ in the UFD $ {\ bf Q} (\ sqrt2)$. $$(1+\sqrt{-7})^4+(1-\sqrt{-7})^4=2^4$$ so Fermat fails for $ n = 4$ in the UFD $ {\ bf Q} (\ sqrt {-7}) $ .

Mirando un par más de UFD cuadráticas imaginarias:

$(1+\sqrt{-2})^{\color{blue}{3}}+(\sqrt{-2})^{\color{blue}{3}}=(1-\sqrt{-2})^{\color{blue}{3}}$ (falla en ${\bf Q}(\sqrt{-2})$ )

$(1+\sqrt{-3})^{\color{blue}{6n+1}}+(1-\sqrt{-3})^{\color{blue}{6n+1}}=2^{\color{blue}{6n+1}}$ (cualquier número entero $n$ ; falla en ${\bf Q}(\sqrt{-3})$ )