Integral indefinida $\int xe^x (x+1)^{-2}dx$

Question

Estaba resolviendo una ecuación diferencial por reducción de orden, y tenía que evaluar la integral indefinida

$$I=\int \frac{xe^x}{(x+1)^2}dx.$$

El único método que se me ocurrió fue la inspección, es decir, reconocer que

$$ \frac{d}{dx} \frac{e^x}{x+1} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}.$$

No me confiaría en reconocer esto bajo la presión de una prueba o un examen, así que ¿es posible evaluar $I$ por sustitución, por partes, o por algún otro método?

Answer 1

Un buen truco es escribir $\frac{x}{(1+x)^2}$ como $\frac{(x+1)-1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}$ y luego aplicar la integración por partes:

$$ \int \frac{e^x}{(1+x)^2}\,dx = -\frac{e^x}{1+x}+\int \frac{e^x}{(1+x)}\,dx.$$

Answer 2

Aviso $$\int \frac{xe^x}{(x+1)^2}\ dx $$ $$=\int \frac{(x+1-1)e^x}{(x+1)^2}\ dx $$ $$=\int e^x\left( \frac{(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\ dx $$ $$=\int e^x\left( \frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\ dx $$ dejar $x+1=t\implies dx=dt$ $$=\int e^{t-1}\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\right)\ dx $$ $$=\frac{1}{e} \int e^{t}\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\right)\ dx $$ Utilizando $\int e^x(f(x)+f'(x))dx=e^xf(x)+C$ $$=\frac{e^{t}}{e}\frac{1}{t}+C $$ $$=\frac{e^{t-1}}{t}+C $$ $$=e^{x}\frac{1}{x+1}+C $$

Answer 3

$\int\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}dx$

$=-\int xe^x~d\left(\dfrac{1}{x+1}\right)$

$=-\dfrac{xe^x}{x+1}+\int\dfrac{1}{x+1}d(xe^x)$

$=-\dfrac{xe^x}{x+1}+\int\dfrac{(x+1)e^x}{x+1}dx$

$=-\dfrac{xe^x}{x+1}+\int e^x~dx$

$=-\dfrac{xe^x}{x+1}+e^x+C$

$=\dfrac{(x+1)e^x-xe^x}{x+1}+C$

$=\dfrac{e^x}{x+1}+C$