¿Dónde me he equivocado al comparar $2\arctan(2\sqrt{2}-1)$ y $3\arctan\left(\frac{1}{4}\right)+\arctan\left(\frac{5}{99}\right)$ ?

Question

Sin usar una calculadora, encuentre cuál de $2\arctan(2\sqrt{2}-1)$ o $3\arctan\left(\frac{1}{4}\right)+\arctan\left(\frac{5}{99}\right)$ es más grande.

He utilizado la fórmula $\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ para resolver esta cuestión. A la derecha encontré $3\arctan\left(\frac{1}{4}\right)+\arctan\left(\frac{5}{99}\right)$ es igual a $\arctan(1)$ y coincide con la solución de la calculadora. Para el lado izquierdo no es tan bueno. He encontrado $2\arctan(2\sqrt{2}-1)=\arctan\left(-\frac{2+3\sqrt{2}}{4}\right)$ y dije $3\arctan\left(\frac{1}{4}\right)+\arctan\left(\frac{5}{99}\right)$ es el más grande debido al gráfico de $\arctan(x)$ . Pero la solución de la calculadora no coincide con mi solución. ¿Dónde estoy cometiendo un error? Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

Una pista:

Su error se esconde en el hecho de que $$\frac\pi2<\phi\equiv 2\arctan (2\sqrt2-1)<\pi,$$ el signo negativo de $\tan(\phi)$ siendo una clara señal de alarma.

Si ignoras la campana obtendrás $$\arctan(\tan\phi)=\phi-\pi,$$ ya que el rango de $\arctan x$ es $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ .

Answer 2

La fórmula de adición de la arctangente debe interpretarse con cuidado, porque no se mantiene tal como está escrita para todos los $x$ y $y$ . En particular, no se puede sostener si $|\arctan(x)+\arctan(y)|\gt\pi/2$ porque el rango de la función arctangente es $(-\pi/2,\pi/2)$ . Esa parece ser la causa próxima de su error. (La fórmula completa y correcta de la adición se puede encontrar en el enlace del comentario de lab bhattacharjee debajo del OP).

En este caso, es relativamente fácil ver que

$$2\arctan(2\sqrt2-1)\gt2\arctan1=\pi/2\gt1\gt3/4+5/99\gt3\arctan(1/4)+\arctan(5/99)$$

utilizando sólo la naturaleza creciente de la función arctangente para la primera desigualdad y la desigualdad $x\gt\arctan x$ para $x\gt0$ para la desigualdad final. La desigualdad $x\gt\arctan x$ para $x\gt0$ se puede ver desde

$$\arctan x=\int_0^x{dt\over1+t^2}\lt\int_0^x{dt\over1+0}=x$$

Observación: Es posible que la comparación pretendida fuera en realidad entre $3\arctan(1/4)+\arctan(5/99)$ y $2\arctan(\sqrt2-1)$ no $2\arctan(2\sqrt2-1)$ .