Ecuaciones paramétricas para una onda sinusoidal con ángulo cambiante relativo al factor de crecimiento/disminución

Question

He estado trabajando para crear ecuaciones paramétricas para una onda sinusoidal que corresponda a las expresiones de abajo ( ¡Por favor, lea mi descripción después de las expresiones, o mi post puede no tener sentido! ):

Si, $0≤t≤ 360$

entonces:

$x(t) = exp \left (t \frac {ln(1,4)}{360(1,2)} \right )sin(t)$

$y(t) = exp \left (t \frac {ln( \frac {1}{1.4})}{360} \right )$

Si, $360≤t≤ 360(2)$

entonces:

$x(t) = exp \left (t \frac {ln(1,4)}{360} \right )sin(t)$

$y(t) = exp \left (t \frac {ln( \frac {1}{1.4})}{360( \frac {1}{1.2})} \right )$

Si, $360(2)≤t≤ 360(3)$

entonces:

$x(t) = exp \left (t \frac {ln(1.4)}{360( \frac {1}{1.2})} \right )sin(t)$

$y(t) = exp \left (t \frac {ln( \frac {1}{1.4})}{360( \frac {1}{1.2})^2} \right )$

Si, $360(3)≤t≤ 360(4)$

entonces:

$x(t) = exp \left (t \frac {ln(1.4)}{360( \frac {1}{1.2})^2} \right )sin(t)$

$y(t) = exp \left (t \frac {ln( \frac {1}{1.4})}{360( \frac {1}{1.2})^3} \right )$

Y así sucesivamente....

Lo que quiero hacer puede ser visto como la combinación de las ondas sinusoidales anteriores en los valores dados. No consigo encontrar la forma de hacerlo. Pero, he llegado a la conclusión de que hay dos formas generales que la respuesta podría tomar:

1. Una onda sinusoidal en la que el ángulo se desplaza sin problemas, alcanzando exactamente mis valores para el ángulo en los valores de entrada dados, y nunca cambia más que en los múltiplos de 360, es decir, las revoluciones completas.

2. Una onda sinusoidal en la que se alcanzan los valores de mis ángulos pero sólo en las entradas dadas, es decir, en la que no permanecen constantes entre las revoluciones completas; una onda en la que disminuyen gradualmente hasta mis valores.

Lo ideal sería encontrar ambas soluciones, o incluso otra forma de combinar estas ondas que no se me haya ocurrido pero que siga correspondiendo a lo anterior.

¡Perdón por un post súper largo, pero realmente estaría muy interesada en la respuesta ya que no puedo descubrirla por mí misma ni parece estar en ninguno de mis libros o en línea!

Muchas gracias, chicos, por vuestro tiempo y talento.

Por favor, publique sus respuestas en forma paramétrica.

Answer 1

Estos son todos de la forma: $$x(t) = \exp(\alpha(t) t)\sin(t), y(t) = \exp(\beta(t) t)\sin(t)$$ donde $\alpha(t)$ y $\beta(t)$ son constantes dentro de cada subintervalo, pero saltan de forma discontinua en los límites de los subintervalos. Esta dependencia temporal puede modelarse mediante funciones de paso . Por ejemplo, podemos definir una función que sea 1 entre $t=0$ y $t=1$ y 0 fuera de ese intervalo: $$\theta(t) = \begin{cases} 1, & 0\le t \lt 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ Entonces, si tienes una función constante a trozos que cambia de valor en $t = 0, 1, 2, 3$ y es 0 si $t < 0$ o $t >= 4$ digamos, podrías escribir: $$f(t) = f_0 \theta(t) + f_1 \theta(t-1) + f_2 \theta(t-2) + f_3 \theta(t-3) +\ ...$$ donde $f_0$ es el valor constante en el $0\le t \lt 1$ subintervalo y de forma similar para los demás. Puedes cambiar la escala de t para acomodar tus subintervalos, así que como quieres que tus subintervalos sean, por ejemplo $0\le t \lt 360$ , usted podría escribir el $\alpha(t)$ función de arriba: $$\alpha(t) = \alpha_0 \theta(t/360) + \alpha_1 \theta(t/360 - 1) + \alpha_2 \theta(t/360-2) + \alpha_3 \theta(t/360-3) +\ ...$$ donde $$\alpha_0 = \frac{\ln(1.4)}{1.2\cdot 360}\\ \alpha_n = ({1.2})^n \alpha_0$$ y de forma similar para $\beta(t)$ .

Answer 2

Tal vez algo así,

$x(t) = exp \left (t \frac {ln(1,4)}{360 \left ( \frac {1}{1.2} \right )^ \frac {t}{360}} \right )sin(t)$

pero realmente no estoy seguro