Integración de $r^4\cos^2\theta\sin\theta$ Sobre una elipse

Question

Estaba dando clases particulares a alguien y uno de los problemas era integrar $r^4\cos^2\theta\sin\theta$ sobre la parte de la elipse $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ que se encuentra en el primer cuadrante. Así que, $0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ . Pero, dada una $\theta$ , $r$ corre de $0$ a

$$ \sqrt{\frac{36+36\tan^2\theta}{9+4\tan^2\theta}}. $$

Después de integrar con respecto a $r$ primero, se ve muy desagradable.

¿Hay algún método inteligente, como un cambio de variables, que facilite la integración?

Answer 1

En este caso concreto, ¿no es más fácil hacerlo en coordenadas cartesianas?

$$\int \int_R r^4 \cos^2 \theta \sin \theta dr \; d\theta = \int \int_R (r \cos\theta)^2 (r \sin \theta) \; r \; dr \; d\theta = \int \int_R x^2 y \; dx dy = $$

$$= \int_0^2 x^2 \int_0^{3\sqrt{1-x^2/4}} y \; dy \; dx = \frac{9}{2} \int_0^2 x^2 \left(1- \frac{x^2}{4}\right) dx = \cdots $$

Answer 2

La integral cede a las sustituciones estándar. Alguna vez, cuando me sienta con ganas de hacer algo, puede que se me ocurra una solución rápida de verificar. En este momento, me interesa mostrar que la integral se puede hacer por absolutamente rutinario sustituciones. Analizando las sustituciones, podríamos llegar a atajos

No prestaremos atención a las constantes multiplicativas, ya que probablemente nos equivocaríamos de todos modos. Después de la integración con respecto a $r$ terminamos con un $r^5$ término. Pero $r^2=36/(9\cos^2\theta+4\sin^2\theta)$ . Así que acabamos queriendo algo que (aparte de las constantes multiplicativas) se parezca a $$\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{(9\cos^2\theta+4\sin^2\theta)\sqrt{9\cos^2\theta +4\sin^2\theta}}d\theta.$$ Sustituir $9\cos^2\theta+4\sin^2\theta$ por $4+5\cos^2\theta$ y hacer la sustitución $u=\cos\theta$ . Acabamos queriendo una integral de la forma $$\int_0^1 \frac{u^2}{(4+5u^2)^2\sqrt{4+5u^2}}du.$$ En esta situación, lo normal es hacer una sustitución de la forma $\sqrt{5}u=2\tan\phi$ o algo similar con el seno hiperbólico. Después de un poco de trabajo terminamos con algo que, aparte de las constantes, se parece al absolutamente conocido $$\int \sin^2\phi\cos\phi\; d\phi.$$