La integral cede a las sustituciones estándar. Alguna vez, cuando me sienta con ganas de hacer algo, puede que se me ocurra una solución rápida de verificar. En este momento, me interesa mostrar que la integral se puede hacer por absolutamente rutinario sustituciones. Analizando las sustituciones, podríamos llegar a atajos
No prestaremos atención a las constantes multiplicativas, ya que probablemente nos equivocaríamos de todos modos. Después de la integración con respecto a r terminamos con un r5 término. Pero r2=36/(9cos2θ+4sin2θ) . Así que acabamos queriendo algo que (aparte de las constantes multiplicativas) se parezca a ∫π/20cos2θsinθ(9cos2θ+4sin2θ)√9cos2θ+4sin2θdθ. Sustituir 9cos2θ+4sin2θ por 4+5cos2θ y hacer la sustitución u=cosθ . Acabamos queriendo una integral de la forma ∫10u2(4+5u2)2√4+5u2du. En esta situación, lo normal es hacer una sustitución de la forma √5u=2tanϕ o algo similar con el seno hiperbólico. Después de un poco de trabajo terminamos con algo que, aparte de las constantes, se parece al absolutamente conocido ∫sin2ϕcosϕdϕ.