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Integración de r4cos2θsinθ Sobre una elipse

Estaba dando clases particulares a alguien y uno de los problemas era integrar r4cos2θsinθ sobre la parte de la elipse x24+y29=1 que se encuentra en el primer cuadrante. Así que, 0θπ2 . Pero, dada una θ , r corre de 0 a

36+36tan2θ9+4tan2θ.

Después de integrar con respecto a r primero, se ve muy desagradable.

¿Hay algún método inteligente, como un cambio de variables, que facilite la integración?

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palehorse Puntos 8268

En este caso concreto, ¿no es más fácil hacerlo en coordenadas cartesianas?

Rr4cos2θsinθdrdθ=R(rcosθ)2(rsinθ)rdrdθ=Rx2ydxdy=

=20x231x2/40ydydx=9220x2(1x24)dx=

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Oli Puntos 89

La integral cede a las sustituciones estándar. Alguna vez, cuando me sienta con ganas de hacer algo, puede que se me ocurra una solución rápida de verificar. En este momento, me interesa mostrar que la integral se puede hacer por absolutamente rutinario sustituciones. Analizando las sustituciones, podríamos llegar a atajos

No prestaremos atención a las constantes multiplicativas, ya que probablemente nos equivocaríamos de todos modos. Después de la integración con respecto a r terminamos con un r5 término. Pero r2=36/(9cos2θ+4sin2θ) . Así que acabamos queriendo algo que (aparte de las constantes multiplicativas) se parezca a π/20cos2θsinθ(9cos2θ+4sin2θ)9cos2θ+4sin2θdθ. Sustituir 9cos2θ+4sin2θ por 4+5cos2θ y hacer la sustitución u=cosθ . Acabamos queriendo una integral de la forma 10u2(4+5u2)24+5u2du. En esta situación, lo normal es hacer una sustitución de la forma 5u=2tanϕ o algo similar con el seno hiperbólico. Después de un poco de trabajo terminamos con algo que, aparte de las constantes, se parece al absolutamente conocido sin2ϕcosϕdϕ.

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