Sabemos que una función $f:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es Lipschitz continuo si existe una constante real $C>0$ tal que $$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left|x-y\right|\tag{1}$$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ . Supongamos ahora que para todo $\epsilon>0$ existe un $C=C\left(\epsilon\right)>0$ tal que $$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left(\epsilon\right)\left|x-y\right|\tag{2}$$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ tal que $\left|x-y\right|>\epsilon$ . Mi pregunta es:
¿son equivalentes estas definiciones?
Es evidente que $\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)$ pero no estoy seguro de la otra implicación. He intentado probarlo por lo absurdo pero no consigo nada.
