Definición equivalente de la continuidad de Lipschitz en $\mathbb{R}$

Question

Sabemos que una función $f:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es Lipschitz continuo si existe una constante real $C>0$ tal que $$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left|x-y\right|\tag{1}$$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ . Supongamos ahora que para todo $\epsilon>0$ existe un $C=C\left(\epsilon\right)>0$ tal que $$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left(\epsilon\right)\left|x-y\right|\tag{2}$$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ tal que $\left|x-y\right|>\epsilon$ . Mi pregunta es:

¿son equivalentes estas definiciones?

Es evidente que $\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)$ pero no estoy seguro de la otra implicación. He intentado probarlo por lo absurdo pero no consigo nada.

Answer 1

Supongo que quiere escribir $|x-y|<\epsilon$ al final. Las definiciones no son equivalentes en general. Llamamos a las funciones que satisfacen $(2)$ localmente continua de Lipschitz. Si su espacio es lo suficientemente agradable, es decir, localmente compacto, entonces tenemos $f$ es localmente Lipschitz si $f$ es Lipschitz en cada subconjunto compacto del espacio.