Solicitud de referencia: Las simetrías de Lusztig

Question

Dejemos que $W$ sea el grupo de Weyl de un grupo algebraico simple $G$ . El grupo de trenzas de Artin $Br_{\mathfrak{g}}$ es generado por el $T_i$ , $i \in I$ tal que para todo $i, j \in I$ , \begin {align} \underbrace {T_i T_j \cdots }_{m_{ij}} = \underbrace {T_j T_i \cdots }_{m_{ij}}, \end {align} donde $m_{ij}$ es el $(i,j)$ -en la matriz de Coxeter de $W$ . A cada $w \in W$ se asocia el elemento $T_w \in Br_{\mathfrak{g}}$ tal que \begin {align} T_w = T_{i_1} \cdots T_{i_m}, \end {align} para cada $\mathbf{i}=(i_1, \ldots, i_m) \in R(w)$ , donde $R(w) = \{(i_1, \ldots, i_m) : w = s_{i_1} \cdots s_{i_m}\}$ .

Dejemos que $w_0$ sea el elemento más largo de $W$ . Entonces $T_{w_0 s_i}(F_i) = F_{i^*}$ y $T_i^{-1}(F_i)=-E_i$ por un resultado de Lusztig. Aquí $E_i, F_i \in U_q(\mathfrak{g})$ , donde $\mathfrak{g}$ es el álgebra de Lie de $G$ . $i^* = \tau(i)$ , $\tau$ es algún isomorfismo del diagrama de Dynkin de $G$ . No soy capaz de encontrar este resultado en su libro. ¿Hay alguna referencia sobre este resultado? Muchas gracias.

Answer 1

El resultado $T_{w_0 s_i} F_i = F_{i^*} $ es un caso especial de Chari-Pressley, Guía de los grupos cuánticos , proposición 8.1.6. Es de suponer que si buscas en el libro encontrarás una referencia a uno de los trabajos de Lusztig. En mi artículo con Peter Tingley, "The crystal commutor and Drinfeld's unitarized R-matrix", utilizamos precisamente este caso especial en la demostración de nuestro lema 5.4.

Answer 2

Tuve buenas intenciones de examinar más detenidamente los documentos y el libro de Lusztig, pero no lo hice durante algún tiempo. Si todavía es relevante, la siguiente "respuesta" a esta vieja pregunta puede ser útil. [EDITADO para precisar las referencias, con enlaces].

En los dos años que precedieron a 1990 (y después), Lusztig escribió numerosos artículos sobre grupos cuánticos y, a continuación, sobre bases canónicas, modificando parte de su notación según fuera necesario. Su libro vino después, con la Parte VI dedicada a la acción de los grupos trenzados. Como él mismo señala, sus normalizaciones cambiaron a lo largo del camino, por lo que es importante especificar en qué fuente se basan sus fórmulas ("un resultado de Lusztig"). Su 1988 Avances en matemáticas papel aquí trató sólo los tipos de ADE en $\S5$ sustituida en su versión de 1990 Geometriae Dedicata papel aquí por una configuración más general y algo diferente para la acción del grupo de trenzas en $\S3$ . La parte VI de su libro adopta un punto de vista más amplio, incorporando en la notación del operador un signo $\pm 1$ . (Véanse las notas y referencias al final de la Parte VI).

Tu notación parece la más cercana a la utilizada en el documento de 1990, pero has omitido los generadores $K_i$ y $K_i^{-1}$ que desempeñan un papel esencial en las fórmulas de acción de $T_i$ en $E_i$ y $F_i$ . Así que todavía no puedo reconciliar lo que has escrito con ese artículo de Lusztig. En cualquier caso, tienes que ser más preciso con tus referencias, ya que él escribió muchos artículos relevantes, incluyendo los de la base canónica.