Demostrar que $V$ es isomorfo a $U \times (V/U)$

Question

Estaba leyendo el libro Linear Algebra Done Right de Axler, y aparece la siguiente pregunta como ejercicio $12$ en el capítulo $3$ , sección $E$ .

Supongamos que $U$ es un subespacio de $V$ tal que $V/U$ es de dimensión finita.

Demostrar que $V$ es isomorfo a $U \times (V/U)$ .

Lo resuelvo de la siguiente manera:

Desde $V/U$ es finito-dimensional entonces podemos encontrar una base, que sea: $$(v_1 + U) + \cdots + (v_n + U) \quad;\enspace v_i \in V ,\text{for } i = 1,..,n$$ Está claro que $v_1, \cdots, v_n$ son independientes.

Ahora, para cualquier lista de vectores en $V$ que tienen $\text{length} \geq n + 1$ sabemos que esta lista es dependiente porque si no, podemos construir una lista independiente en $V/U$ con una longitud mayor que la de su base, lo cual es imposible.

Así que debe ser que $V$ también es de dimensión finita y como $U$ es un subespacio de $V$ debe ser de dimensión finita.

Ahora podemos proceder fácilmente como sigue: $$\dim U \times (V/U) = \dim U + \dim V/U = \dim U + \dim V - \dim U = \dim V$$ Y como sabemos eso:

Dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre $F$ son isomorfas si y sólo si tienen la misma dimensión.

Podemos concluir que $V$ es isomorfo a $U \times (V/U)$ .

¿Es correcta mi solución?

También tenga en cuenta que conozco las otras soluciones a este problema así que No estoy pidiendo otras soluciones .

Answer 1

Tu prueba es errónea, y aquí hay una idea para ti:

Dejemos que $\;U'\;$ sea el complemento de $\;U\;$ en V, es decir: si $\;B\;$ es una base de $\;U\;$ entonces podemos completarlo a una base $\;B\cup S\;$ de todos $\;V\;$ (aquí necesitamos AC para esto si las dimensiones no son finitas), así que de hecho $\;U'\,$ = Span $\,S\;$ .

Claramente $\;U\cap U'=\{0\}\;$ y por lo tanto $\;V=U\oplus U' \;$ . Esto significa que hay una expresión única $\;v=u+u'\;,\;\;u\in U,\,\,u'\in U'\;$ para todos $\;v\in V\;$ .

Ahora defina

$$\phi: V\to U\times V/U\;,\;\;\phi(v=u+u')=\left(u,\,u'+U\right)$$

Por la primera parte esto está bien definido. Demuestra que es un mapa lineal que es un isomorfismo.

Pregunta: ¿dónde usaste eso? $\;\dim V/U<\infty\;$ ?

Answer 2

Su prueba es errónea. Es no es cierto que $V$ tiene que ser de dimensión finita. Por ejemplo, si $V=\Bbb R[x]$ y si $U=\{\text{polynomials $ p(x) $ such that $ p(0)=0 $}\}$ entonces $\dim(V/U)=1$ pero $V$ es de dimensión infinita. Sucede que si se tiene un conjunto de más de $\dim(V/U)$ elementos, no tienen que ser linealmente independientes.