Es el homotopy tipo de asféricas, en un espacio determinado por su grupo fundamental?

Question

Pregunta: Vamos a $X$ $Y$ trayectoria-conectado espacios que admiten un contráctiles la universalización de la cobertura, con $\pi_1(X) \cong \pi_1(Y)$. Es $X$ homotopy equivalente a $Y$?

Comentarios: $X$ $Y$ ambos $K(\pi_1(X),1)$s. En particular, esto implica que cada homomorphism $\varphi: \pi_1(X) \rightarrow \pi_1(Y)$ (por ejemplo, el isomorfismo) es inducida por un mapa de $f: X \rightarrow Y$. Si $X$ $Y$ son tanto CW-complejos, Whitehead del teorema dice que $f$ es un homotopy de equivalencia. (En general, por definición, $f$ es un débil homotopy de equivalencia.) Así que un contraejemplo requiere que al menos uno de $X$ $Y$ no han homotopy escriba un CW-complejo.

Si uno elimina el requisito de que $X$ $Y$ han contráctiles la universalización de la cobertura, en particular si uno se relaja a $X$ $Y$ han débilmente contráctiles la universalización de la cobertura, el doble peine espacio es un simple conectado contraejemplo, ya que no contráctiles. (Una prueba de que no es contráctiles se puede encontrar aquí.)

Answer 1

Como la propuesta por studiosus en los comentarios, la unidad estándar círculo y el pseudocircle (http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudocircle) servir como un contraejemplo, ya que su universal que cubre los espacios de la recta real y el Khalimsky línea, tanto de ellos contráctiles. (La contractibilidad de el último de la siguiente manera http://arxiv.org/pdf/0901.2621.pdf .)