Doble suma de términos mixtos

Question

Tengo una doble suma dada por

$$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1,\ j\neq i}^n x_i\cdot x_j = 2\sum_{i=1}^n\sum_{j<i}x_i\cdot x_j, $$

donde la igualdad supuestamente proviene del hecho de que

$$ \sum_{i=1}^n\sum_{j<i} x_i\cdot x_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j>i} x_i\cdot x_j. $$

Veo cómo la primera ecuación se deduce de la segunda, y veo por qué la segunda ecuación se mantiene intuitivamente (por ejemplo, escribiéndola para $n=3$ ...).

Pero no se me ocurre una prueba adecuada para la segunda ecuación. ¿Hay alguna o es demasiado "trivial" para ser demostrada?

Answer 1

Dado $x_1,x_2,\cdots,x_n$ dejar $A=(a_{ij})$ denotan la matriz cuadrada definida por $a_{ij}=x_i\cdot x_j$ .

Entonces $A$ es una matriz simétrica. Así que la suma de los términos por debajo de la diagonal principal es igual a la suma de los términos por encima de la diagonal principal.

Es decir

$$ \sum_{i=1}^n\sum_{j<i} x_i\cdot x_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j>i} x_i\cdot x_j. $$

Answer 2

Utiliza la inducción matemática.

El paso inductivo es el siguiente:

$ \begin{array}{rcl} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \sum\limits_{j<i} x_i x_j &=& \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j<i} x_i x_j + x_{n+1} \sum\limits_{j<n+1} x_j \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{n \geq j>i} x_i x_j + x_{n+1} \sum\limits_{j<n+1} x_j \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n+1} \sum\limits_{j>i} x_i x_j \end{array} $

Answer 3

La siguiente representación puede ser útil.

Obtenemos \begin {align*} \color {Azul}{ \sum_ {i=1}^n \sum_ {{j=1} \atop {j \ne i}}^nx_ix_j} &= \sum_ {1 \leq i<j \leq n}x_ix_j+ \sum_ {1 \leq j<i \leq n}x_ix_j \\ &= \sum_ {1 \leq j<i \leq n}x_jx_i+ \sum_ {1 \leq j<i \leq n}x_ix_j \\ &=2 \sum_ {1 \leq j<i \leq n}x_ix_j \\ & \color {azul}{=2 \sum_ {i=2}^n \sum_ {j=1}^{i-1}x_ix_j} \\ \end {align*}

Una pista: En la expresión $\sum_{i=1}^n\sum_{j<i}x_ix_j$ es la suma interna con entrada $i=1$ un suma vacía igual a cero.