Ejemplos de preguntas simplécticas resueltas mediante la "traducción de la simetría del espejo" a preguntas complejas

Question

Según los defensores de la simetría homológica en el espejo, cuando un complejo y una variedad simpléctica son simétricos en el espejo, podemos tomar preguntas difíciles sobre el espacio simpléctico y transferirlas a través de la simetría a preguntas de geometría compleja más manejables. ¿Puede alguien proporcionar un ejemplo de un problema real que se haya resuelto de esta manera?

Más concretamente, uno de los ejemplos mejor comprendidos de simetría especular es el que se da entre las variedades de banderas y ciertos modelos de Landau--Ginzburg, véase el papeles de Rietsch. Puede alguien proporcionar un ejemplo de una pregunta difícil sobre los espacios de Landau-Ginzburg que se haya respondido de esta manera utilizando la simetría especular.

Por último, ¿alguien puede indicarme los artículos en los que se estableció originalmente la equivalencia entre las variedades de banderas y los modelos de Landau--Ginzburg?

Answer 1

Un ejemplo perfecto es la clasificación de Abouzaid-Smith de las superficies lagrangianas de género 2 en $(T^4,\omega_{std})$ . En este documento ( http://arxiv.org/pdf/0903.3065v2.pdf ), demostraron que cualquier superficie lagrangiana de género 2 es cohomológicamente indistinguible de la cirugía lagrangiana de dos toros lagrangianos lineales que se encuentran transversalmente.

El método consiste, a grandes rasgos, en demostrar la simetría homológica del espejo para $T^4$ primero, luego establecer el resultado correspondiente en la cara B, finalmente traducirlo en la cara A.

Recientemente, Abouzaid desarrolló la teoría de Floer familiar de Fukaya para producir un functor espejo fiel. La motivación para desarrollarlo es estudiar la topología simpléctica del colector de Thurston, que es el primer ejemplo de colector simpléctico no Kahler. La dificultad estriba en que el método habitual de resolución de la diagonal no está disponible aquí para demostrar que un conjunto finito de Lagrangianos divide-generan la categoría de Fukaya. Sin embargo, dado que este espacio admite una fibración lagrangiana, se puede utilizar aquí la teoría de la familia Floer para producir un functor espejo. Si se demuestra que este functor es una equivalencia, se obtendrá la simetría homológica del espejo en este caso. El espejo es una superficie analítica rígida de Kodaira, por lo que se puede especular mirando el espejo que no hay tantos lagrangianos no triviales en la categoría de Fukaya. Esto es muy diferente del caso de $T^4$ .

Actualmente, no existe una transformación de espejo bien establecida en el caso general, lo que hace difícil transformar explícitamente algo al lado del espejo, por lo que la simetría de espejo, en muchos casos, sólo ayuda en el nivel filosófico. Por ejemplo, un modelo de Landau-Ginzburg es en muchos casos espejo de un Fano. Para muchas variedades de Fano, se puede encontrar una colección excpecional completa de la categoría derivada de las láminas coherentes mediante el trabajo de Beilinson y otros. La teoría análoga en el lado A es el trabajo de Seidel sobre las fibraciones de Lefschetz. En la dirección inversa, uno tiene una torsión de Dehn a lo largo de una esfera lagrangiana en el lado A, entonces es natural esperar una torsión algebraica similar en el lado B, esto es establecido por Seidel y Thomas. Estos trabajos no tienen como objetivo resolver problemas explícitos, sino que realmente provienen de la filosofía proporcionada por la simetría especular, y por supuesto son útiles para resolver problemas clásicos en topología simpléctica. Por ejemplo, la conjetura lagrangiana cercana de Arnold, véase el bellísimo trabajo de Fukaya-Seidel-Smith: http://arxiv.org/pdf/math/0701783v2.pdf .