Cálculo de productos cruzados utilizando el espacio vectorial perpendicular

Question

Nuestra clase de álgebra lineal no cubrió los productos cruzados y lo requiero para un proyecto. He aprendido los siguientes métodos.

1) $\mathbf{a}\,\times\,\mathbf{b} = ||\mathbf{a}||\,||\mathbf{b}||\,\sin(\theta)\,\mathbf{n}$

2) Método de los determinantes

No tengo una buena intuición de por qué funciona uno u otro método. Sin embargo, aprendimos sobre las proyecciones ortogonales y los espacios vectoriales ortogonales, así que me pregunto si esos métodos están relacionados de alguna manera con el cálculo del producto cruzado.

Por ejemplo, dejemos que $\DeclareMathOperator{Span}{Span}W = \Span\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}$ . Sabemos que $(Row\, A)^{\perp} = Nul\,A$ así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar un vector de $W^{\perp}$ ¿verdad? (Sé que según los métodos 1) y 2), el producto cruzado es único, pero ¿tiene que serlo?)

De todos modos, ¿qué pasa si intentamos encontrar un vector de $Nul \begin{bmatrix} \mathbf{a}^T \\ \mathbf{b}^T\end{bmatrix}$ donde $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son vectores columna ? En otras palabras, ¿qué pasaría si intentáramos encontrar un vector del espacio nulo de una matriz cuyas filas fueran los dos vectores de los que intentamos calcular el producto cruzado? ¿Dice eso algo sobre el producto cruzado?

Answer 1

El producto cruzado fue introducido por Gibbs como una simplificación del producto cuaternión. Gibbs consideraba que los cuaterniones eran demasiado difíciles de enseñar, por lo que dividió el producto de cuaterniones en dos: producto cruzado y producto punto.

Originalmente, ambos productos se calculaban siempre juntos, ya que representan tanto la ortogonalidad (parte simétrica) como la paralelidad (parte antisimétrica) de los dos vectores, que permitían definir el producto inverso.

El producto cuaternión se define con las reglas simples:

$i j = k$ , $k i = j$ , $j k = i$ , $ i i = j j = k k = -1$

Esas reglas también implican:

$j i = -k$ , $i k = -j$ , $k j = -i$

El significado original de $i$ , $j$ y $k$ era de los vectores de coordenadas, ya que los vectores eran números que se podían multiplicar entre sí y producían otros vectores. La propiedad clave es que el cuadrado de cualquier vector es siempre un escalar. Para los vectores $i$ , $j$ y $k$ ese escalar es -1.

Siguiendo las reglas de multiplicación descritas anteriormente, el producto de dos vectores produce dos cantidades, que ahora identificamos con el producto cruzado (la parte vectorial) y con el producto punto (la parte escalar).

Lo que hizo Gibbs fue introducir un producto misterioso, que en realidad es la mitad del producto cuaternión. Algo que la mayoría de la gente ignora.

Si estudias las matemáticas de los cuaterniones, el cálculo del producto cruzado se explicará por sí mismo.

Answer 2

Para los vectores en $\mathbb{R}^3$ tienes razón:

el producto cruzado de dos vectores se encuentra en el espacio nulo de la $2 \times 3$ matriz con los vectores como filas.