Es $\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{n}}$ una Secuencia de Cauchy en $L^p((0,1))$

Question

Es $(\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{n}})_{n\in N}$ una Secuencia de Cauchy en $L^p((0,1))$ ? y ¿converge a $\frac{1}{x}^{\frac{1}{p}}$ (p es un número real mayor o igual a 1)

Creo que no es una secuencia cauchy o no converge a $\frac{1}{x}^{\frac{1}{p}}$ porque si lo fuera, entonces $\frac{1}{x}^{\frac{1}{p}}$ sería en $L_p((0,1))$ porque el $L^p$ espacios son completos y

$$\left(\int_{(0,1)} \left|\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{n}}\right|^p dL_1(x)\right)^{1/p} = \left(\int_{(0,1)} \left|\left(\frac{1}{x}\right)^{1 - \frac{p}{n}}\right| dL_1(x)\right)^{1/p} < \infty$$

pero

$$\int_{(0,1)} \left(\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{1}{p}}\right)^p dL_1(x) = \int_{(0,1)} {\frac{1}{x}} dL_1(x)$$

que diverge

Answer 1

Como usted observa, el límite, si existe, no puede ser $(\frac{1}{x})^{\frac1p}$ . Sin embargo, ese es el límite de puntos. Si esa secuencia tuviera un límite en $L^p$ tendríamos una subsecuencia que converge puntualmente en casi todas partes a ese límite, que no podría ser el límite puntual real, y el límite puntual real no sería por tanto el límite puntual. Permítanme explicar esto mejor. Llamemos a la sucesión $f_n$ . Supongamos que $f_n\to f$ en $L^p$ . Entonces sabemos que existe $f_{n_k}$ una subsecuencia de $f_n$ que converge puntualmente en casi todas partes a $f$ . $f$ sin embargo, no pudo ser $g(x)=(\frac1x^{\frac1p})$ ya que $g\not\in L^p$ como has demostrado. Así que tendríamos una subsecuencia de $f_n$ convergiendo puntualmente en casi todas partes a algo diferente del límite puntual real $g$ que, por tanto, no puede ser el límite puntual de toda la secuencia. Esto es una contradicción evidente. Por lo tanto, $f_n$ no puede converger en $L^p$ . Desde el $L^p$ son completos, tampoco puede ser una sucesión de Cauchy, de lo contrario convergería, etc. etc.

Una refutación más "constructiva" o práctica de esta afirmación (que $f_n$ converge o es Cauchy en $L^p$ ) es demostrar que no está acotado. Tomemos el $L^p$ norma de $f_n$ : \begin {align*} |f_n|_p^p={}& \int\limits_ {[0,1]} \left | \left ( \frac1x\right )^{ \frac1p - \frac1n } \right |^p \mathrm {d}x= \int\limits_ {[0,1]} \left ( \frac1x\right )^{1- \frac pn} \mathrm {d}x=- \int\limits_ {[+ \infty ,1]}t^{1- \frac pn} \frac {1}{t^2} \mathrm {d}t={} \\ {}={}&- \frac {1}{- \frac pn}t^{- \frac pn} \Bigg |_{+ \infty }^1=- \frac {1}{ \frac pn} \lim_ {t \to + \infty }t^{- \frac pn}+ \frac {1}{ \frac pn}= \frac np, \end {align*} que para $n\to\infty$ no tiene límites, lo que demuestra que la secuencia no puede converger. De hecho, si convergiera a un límite $f\in L^p$ Tendríamos $\|f_n-f\|_p\to0$ pero $\|f_n-f\|_p\geq\|f_n\|_p-\|f\|_p$ que es ilimitado para $n\to\infty$ .