El álgebra simétrica de un espacio vectorial está generada por potencias

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $k \supseteq \mathbb Q$ (carácter $0$ ). En la obra de Helgason Grupos y análisis geométrico se menciona que el álgebra simétrica $S(V)$ es generado linealmente por el $v^m$ para $v \in V$ y $m \in \mathbb N$ .

En el caso $\dim V = 1$ esto es trivial.

Si $\dim V = 2$ y $(x, y)$ es una base de $V$ entonces la expansión binomial y la invertibilidad de una matriz de Vandermonde muestran que la $(x+ ty)^m$ para $m+1$ diferentes valores de $t$ abarcan los elementos homogéneos de grado $m$ .

Cómo probar esto para $\dim V >2$ ?

Puede haber una generalización de una matriz de Vandermonde que desconozco.

Nota: Helgason menciona esto para $k = \mathbb R$ pero sospecho que es una realidad más general. Al tensar basta con hacer el caso $k = \mathbb Q$ .

Answer 1

Dejemos que $n$ sea un número entero no negativo. Sea $\left[n\right]$ denota el conjunto $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ .

Una identidad muy conocida (a veces llamada "identidad de polarización", pero ese nombre tiene muchos pretendientes) dice lo siguiente:

Teorema 1. Dejemos que $v_1, v_2, \ldots, v_n$ sea $n$ elementos de un anillo conmutativo $\mathbb{L}$ . Entonces, \begin {Ecuación} \sum_ {I \subseteq \left [n \right ]} \left (-1 \right )^{n- \left |I \right |} \left ( \sum_ {i \in I} v_i \right ¡)^n = n! \cdot v_1 v_2 \cdots v_n . \end {Ecuación}

El teorema 1 es, por ejemplo, el ejercicio 5.50 (d) en mi Notas sobre los fundamentos combinatorios del álgebra , versión del 26 de abril de 2018 donde también muestro una versión no conmutativa. Todo esto se entiende desde el siglo XIX.

Corolario 2. Dejemos que $\mathbb{K}$ sea cualquier anillo conmutativo. Sea $V$ ser un $\mathbb{K}$ -módulo. Sea $v_1, v_2, \ldots, v_n$ sea $n$ vectores en $V$ . Entonces, \begin {Ecuación} \sum_ {I \subseteq \left [n \right ]} \left (-1 \right )^{n- \left |I \right |} \left ( \sum_ {i \in I} v_i \right ¡)^n = n! \cdot v_1 v_2 \cdots v_n \end {equation} en la potencia simétrica $\operatorname{Sym}^n V$ .

Prueba del Corolario 2. El álgebra simétrica $\operatorname{Sym} V$ de $V$ es un anillo conmutativo, y los vectores $v_1, v_2, \ldots, v_n$ pertenecen a este anillo (si identificamos $V$ con $\operatorname{Sym}^1 V \subseteq \operatorname{Sym} V$ de forma obvia). Por lo tanto, el Teorema 1 (aplicado a $\mathbb{L} = \operatorname{Sym} V$ ) produce \begin {Ecuación} \sum_ {I \subseteq \left [n \right ]} \left (-1 \right )^{n- \left |I \right |} \left ( \sum_ {i \in I} v_i \right ¡)^n = n! \cdot v_1 v_2 \cdots v_n . \end {equation} Esta es una igualdad en $\operatorname{Sym} V$ y, por tanto, una igualdad en $\operatorname{Sym}^n V$ (ya que sus dos lados pertenecen a $\operatorname{Sym}^n V$ ). Esto demuestra el Corolario 2.

Ahora, tenemos una generalización de su reclamo:

Corolario 3. Dejemos que $\mathbb{K}$ sea cualquier anillo conmutativo en el que $n!$ es invertible. Sea $V$ ser un $\mathbb{K}$ -módulo. Entonces, el $\mathbb{K}$ -Módulo $\operatorname{Sym}^n V$ está atravesado por el $v$ -potencias de elementos de $V$ .

Prueba del Corolario 3. Sabemos que el $\mathbb{K}$ -Módulo $\operatorname{Sym}^n V$ está atravesado por productos de la forma $v_1 v_2 \cdots v_n$ con $v_1, v_2, \ldots, v_n \in V$ . Por lo tanto, basta con demostrar que cada uno de estos productos puede escribirse como un $\mathbb{K}$ -combinación lineal de $n$ -potencias de elementos de $V$ . Así que dejemos $v_1, v_2, \ldots, v_n \in V$ sea arbitraria. Entonces, el Corolario 2 da como resultado \begin {Ecuación} \sum_ {I \subseteq \left [n \right ]} \left (-1 \right )^{n- \left |I \right |} \left ( \sum_ {i \in I} v_i \right ¡)^n = n! \cdot v_1 v_2 \cdots v_n . \end {equation} Resolviendo esta ecuación para $v_1 v_2 \cdots v_n$ encontramos \begin {Ecuación} v_1 v_2 \cdots v_n = \dfrac {1}{n!} \sum_ {I \subseteq \left [n \right ]} \left (-1 \right )^{n- \left |I \right |} \left ( \sum_ {i \in I} v_i \right )^n . \end {ecuación} Esto es claramente una $\mathbb{K}$ -combinación lineal de $n$ -potencias de elementos de $V$ . Por lo tanto, se demuestra el Corolario 3.

Answer 2

Una vez que tenemos el caso $\dim V = 2$ podemos proceder por inducción sobre el número de factores de un monomio: por la $\dim V = 2$ caso, sabemos que un producto de dos potencias $x^ay^b$ es una combinación lineal de potencias "puras" $v^m$ (con $m=a+b$ ). Así, un producto de tres potencias $x^ay^bz^c$ es una potencia $z^c$ veces una combinación lineal de potencias $v^m$ es decir, una combinación lineal de un producto de dos potencias $v^mz^c$ . Y así sucesivamente, por inducción reducimos el caso de un producto de $n$ a un producto de $n-1$ poderes.

Esto también funciona para la dimensión infinita $V$ (la inducción no está en la dimensión).