Forma Weierstrass de la curva elíptica con punto de orden superior a 3

Question

L.S.,

Estudiando para mi examen sobre curvas elípticas, intenté hacer el ejercicio 8.13(a) de Silvermans "The Arithmatic of Elliptic Curves", que dice

Dejemos que $E$ sea una curva elíptica definida sobre un campo $k$ y que $P \in E(k)$ sea un punto de orden al menos 4. Demostrar que existe un cambio de coordenadas tal que $E$ se describe mediante la ecuación de Weierstrass $y^2 + uxy + vy = x^3 + vx^2$ con $u,v \in k$ . y $P = (0,0)$ .

He probado lo siguiente:

Esperaba que Riemann-Roch pudiera ayudar aquí. Sabemos que, en la notación del teorema R-R, $g = 1$ por lo que para algún divisor principal $D$ tenemos que $l(D) \leq 2$ . Ahora me gustaría explotar el hecho de que sabemos que hay un punto de orden mayor que 3. Sea $f$ sea la función lineal que define la recta tangente en $P$ . Sabemos que $f$ no puede intersecar el punto en el infinito $\mathcal{O}$ porque entonces tendríamos $2P = \mathcal{O}$ . Además, esta línea debe pasar por $P$ con multiplicidad $2$ porque no puede intersecar con multiplicidad 3 ya que entonces $3P = \mathcal{O}$ . Ahora denota $g$ la función que describe la línea a través de $P$ y $O$ . Con el mismo razonamiento, tenemos que $g$ tiene multiplicidad precisamente 1 en $P$ y multiplicidad a lo sumo 2 en $\mathcal{O}$ . Ahora tenemos que $F = \frac{f}{g}$ tiene el orden 1 en $P$ y ordenar -2 o -1 en $\mathcal{O}$ . Así que para el divisor $D = P - 2\mathcal{O}$ sabemos que $F \in L(D)$ que es como máximo de 2 dimensiones. Ahora estoy atascado, ya que no sé cómo explotar esto más, esperaba que tal vez hay alguna otra función $G$ del que también sabemos que está en $L(D)$ y entonces deberíamos tener automáticamente alguna relación entre $F$ y $G$ .

¡Realmente espero que alguien pueda ayudarme! ¡Muchas gracias!

Willem

Answer 1

Yo probaría algo como lo siguiente.

La aplicación habitual de Riemann-Roch nos permite encontrar $x$ y $y$ tales que tienen sus respectivos divisores de polos $$ (x)_\infty=2\mathcal{O},\quad (y)_\infty=3\mathcal{O}, $$ y que se escalen de tal manera que $x^3-y^2$ tiene un polo de orden como máximo cinco. Porque $P\neq\mathcal{O}$ podemos sustituir $x$ con $x-x(P)$ y $y$ con $y-y(P)$ para mover el origen a $P$ . En este punto la ecuación de la curva toma la forma $$ y^2+Axy+By=x^3+Cx^2+Dx\qquad(*) $$ ya que matamos el término constante trasladando el origen a $P$ .

La siguiente tarea es hacer $D=0$ . Lo primero que se me ocurre es la sustitución $$y=\tilde{y}+tx,$$ donde $t\in k$ es una constante que tratamos de elegir inteligentemente, y $\tilde{y}$ sería el nuevo $y$ -coordinación. Obsérvese que tal sustitución no perturbará las suposiciones anteriores sobre los órdenes de los polos de $y^2$ y $x^3-y^2$ . Llegamos a la ecuación $$ \tilde{y}^2+(A+2t)x\tilde{y}+B\tilde{y}=x^3+(C-t^2-At)+(D-Bt)x. $$ Así que tenemos éxito con la elección $t=D/B$ a menos que tengamos $B=0$ . Pero, ¿deberíamos tener $B=0$ en $(*)$ se deduce que $P=(0,0)$ tendría el orden dos. Geométricamente esto equivale a elegir el $x$ -como la línea tangente a $P$ . Renombrando los coeficientes obtenemos una ecuación de la forma $$ y^2+Axy+By=x^3+Cx^2.\qquad(**) $$ Cómo conseguir $B=C$ ? Todavía podemos hacer la sustitución $y\leftarrow r^3y$ , $x\leftarrow r^2x$ , $r\neq0$ . Esto da lugar a los cambios $$ A\leftarrow A/r,\quad B\leftarrow B/r^3,\quad C\leftarrow C/r^2. $$ De este modo, obtenemos el deseado $B/r^3=C/r^2$ , si la elección $r=B/C$ tiene sentido. Ya vimos que debemos tener $B\neq0$ Así que el problema que queda es si podemos tener $C=0$ . Pero si $C=0$ en $(**)$ entonces $y$ tiene un cero de orden tres en $P$ violando la suposición de que $P$ no puede tener el orden tres.