¿Cómo demostrar que la norma del infinito de una matriz es el máximo de la suma de filas?

Question

Sé cómo demostrar que la norma 1 de una matriz es el máximo de la suma de las columnas, pero no estoy seguro de cómo demostrar que la norma inferior es el máximo de la suma de las filas.

¿Alguna sugerencia? Gracias

Answer 1

Una pista: Supongamos que $x$ con entradas $x_j$ satisface $\|x\|_\infty = 1$ . Entonces el $j$ La entrada de $Mx$ viene dada por $$ \sum_{k=1}^m M_{jk}x_k $$ Observamos que $$ \left|\sum_{k=1}^m M_{jk}x_k\right| \leq \sum_{k=1}^m \left|M_{jk}x_k\right| \leq \sum_{k=1}^m \left|M_{jk}\right| \|x\|_{\infty} $$ Entonces, para cualquier $j$ podemos considerar el vector $x$ cuyas entradas vienen dadas por $$ x_k = \frac{|M_{jk}|}{M_{jk}} $$