Para demostrar que un vector $x(t)$ se encuentra en un plano.

Question

Demostrar que el vector $x(t)=t\,\hat{i}+\left(\dfrac{1+t}{t}\right)\hat{ j}+\left(\dfrac{1-t^2}{t})\right)\hat{k}$ se encuentra en una curva. Estoy desconcertado. No sé cómo abordarlo.

Answer 1

Pista: Reescribe $$x(t) = t \hat{i} + \big{(}\frac{1+t}{t}\big{)}\hat{j} + \big{(}\frac{1-t^2}{t}\big{)}\hat{k}$$ como

$$x(t) =  \hat{j} + t(\hat{i} - \hat{k}) + \frac{1}{t}(\hat{j} + \hat{k}).$$

Ahora, cuando revises la definición de plano y estudies la expresión reescrita, podrás concluir que $x(t)$ se encuentra en un plano. Además, ¿en qué plano se encuentra la curva?

Answer 2

Los vectores se encuentran en un plano, porque las funciones $\{f=t,g=(1+t)/t,h=(1-t^2)/t\}$ no son linealmente independientes. A saber, $f-g+h=-1$ .

Es obvio que también se encuentran en una curva: ¡hay un único parámetro real que se puede variar!

Answer 3

Yo habría utilizado "x", "y" y "z" en lugar de "f", "g" y "h", pero el punto es válido. Esta curva se encuentra en el plano x- y+ z= 1.

(Estoy asumiendo que i, j y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y y z, respectivamente, no "cuaterniones").