Ecuación paramétrica de un círculo dado el punto de partida.

Question

Hallar las ecuaciones paramétricas de una circunferencia de radio $5$ donde se empieza en el punto $(5,0)$ en $v=0$ y se viaja en el sentido de las agujas del reloj con un periodo de $3$ .

Así que, sé que requiero tener una $x(v)$ y $y(v)$ respuesta.

Así que para $x(v)$ Desde que se inicia en $5$ Me imaginé que la respuesta sería $x(v) = 5 + 5\cos()$ y para $y(v)$ ya que comienza en $0$ es simplemente $y(v) = 0 + 5 \sin()$ . Sin embargo, no estoy muy seguro de lo que hay que introducir en los paréntesis.( Sé que necesitaríamos $bv$ , donde $b$ es el coeficiente a $v$ ). Como dice $3$ período, ¿se encuentra así?

$$3b = 2 \pi, \quad b = \frac{2}{3} \pi$$

Y así, la respuesta para $x$ sería $x(v) = 5 + 5\cos(2/3\pi v)$ y para $y; y(v) = 5 \sin(2/3\pi v)$ . Mis respuestas son erróneas, ¿podríais explicarme en qué me he equivocado? Gracias.

cálculo

Answer 1

Tienes el periodo controlado, así que no nos ocuparemos de eso. Si estamos viajando alrededor del círculo con centro el origen, y radio $r$ en la dirección favorita de los matemáticos, en sentido contrario a las agujas del reloj, empezando por $(r,0)$ entonces la ecuación paramétrica es de la forma $x=r\cos( kt)$ , $y=r\sin(kt)$ .

Para viajar en el sentido de las agujas del reloj, sustituya $t$ por $-t$ . Pero $\cos(-kt)=\cos(kt)$ y $\sin(-kt)=-\sin(kt)$ por lo que la ecuación paramétrica puede escribirse como $x=r\cos( kt)$ , $y=-r\sin(kt)$ .

Si en el momento $0$ estamos en otro punto $P$ en el círculo, encontrar un ángulo $\theta$ tal que $P=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ . Entonces la ecuación paramétrica para el recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj es $x=r\cos(kt+\theta)$ , $y=r\sin(kt+\theta)$ . Para las agujas del reloj, una manipulación similar a la anterior da $$x=r\cos( kt-\theta), \qquad y=-r\sin(kt-\theta).$$ En su caso particular, tenemos $\theta=0$ .

Se puede generalizar lo anterior para viajar alrededor de un círculo con centro $(a,b)$ .