Determinante de Resumen de la Matriz de

Question

Dado un $n \times n$ matriz $A$ donde $x$ es cualquier número real:

$A = \left[ \begin{array}{ c c c c c c c c } 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & x & x & x & x & x & \cdots & x \\ 1 & x & 2x & 2x & 2x & 2x & \cdots & 2x \\ 1 & x & 2x & 3x & 3x & 3x & \cdots & 3x \\ 1 & x & 2x & 3x & 4x & 4x & \cdots & 4x \\ 1 & x & 2x & 3x & 4x & 5x & \cdots & 5x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x & 2x & 3x & 4x & 5x & \cdots & (n-1)x \end{array} \right]$

Encontrar el determinante.

Mediante el uso de $n=2,3,4,5,...$ y random $x=1,2,3,4...$ he encontrado que $det(A) = (x-1)(x)^{n-2}$ a través de la observación de un patrón.

Sin embargo, me gustaría ser capaz de demostrar esto a través de una prueba, sin embargo, no tengo idea de por donde empezar.

Cuando trato de resolver el determinante mediante el resumen de la matriz a y el uso de la propiedad que el determinante de una matriz cuadrada es $(-1)^r * (\text{products of pivots})$, donde r es el número de fila de los intercambios, mi respuesta es de la forma $(x-1)(x)(x)(x)(x)...(n-?)x$ donde "?" depende de la cantidad de filas que se incluyen en el resumen en forma de A. ¿Cómo puedo demostrar que $(x)(x)(x)...(n-?)x$ es igual a $(x)^{n-2}$?

Aquí está mi trabajo: http://i.imgur.com/tinDw.jpg

Cualquier sugerencias? Gracias por la ayuda!

Answer 1

Yo creo que lo que hizo es casi perfectamente correcta. En cualquier caso, aquí hay otra manera en que utiliza la inducción. Deje $A_n$ se refieren a la $n\times n$ matriz. El caso base de la $2\times 2$ matriz es $\det A_2 =(x-1)$.

Ahora, para el paso inductivo, veamos $A_{n+1}$ y el uso de la linealidad de la determinante en la última entrada de la última fila. Tenemos que $$\det\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\ 1 & x & \cdots & x & x\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & x & \cdots & (n-1)x & (n-1)x\\ 1 & x & \cdots & (n-1)x & nx\end{array}\right]=$$ $$\det\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\ 1 & x & \cdots & x & x\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & x & \cdots & (n-1)x & (n-1)x\\ 1 & x & \cdots & (n-1)x & (n-1)x\end{array}\right]+\det\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\ 1 & x & \cdots & x & x\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & x & \cdots & (n-1)x & (n-1)x\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x\end{array}\right]$$ The first determinant will be zero since two rows are the same. The second is $x\det A_n$.

Espero que ayude,

Answer 2

Expanda el determinante mediante la costumbre de suma-producto de la fórmula. Cada término en esta expansión los resultados mediante la selección de algunos de permutación $\pi$. Si $\pi(1) = 1$, el plazo será de la forma $Cx^{n-1}$, de lo contrario será de la forma $Cx^{n-2}$ (desde $\pi(1) \neq \pi^{-1}(1)$). Por lo tanto, el determinante es de la forma general de la $$ Ax^{n-1} + Bx^{n-2} = x^{n-2} (Ax + B). $$ Sustituyendo $x = 1$, obtenemos que las dos primeras filas son iguales, y por lo que el factor determinante es $0$. Por lo que el determinante tiene la forma general de la $$Cx^{n-2}(x-1).$$ El coeficiente de $x^{n-1}$ es claramente igual al determinante de la $(1,1)$-menor, y si sustituimos $x = 1$, se obtendrá una matriz cuyo determinante es $C$.

Como se mencionó en otra respuesta, es muy fácil ver que el determinante de la matriz es $1$. Primero restamos la primera fila de todas las demás filas. Esto deja una solitaria $1$ en la primera fila en la primera columna, por lo que podemos borrar la primera fila y la columna. Continuando de esta manera, hemos llegado a alcanzar el singleton $1$ matriz.

Answer 3

Deje $L$ ser el triangular inferior de la matriz cuya parte triangular inferior (incluyendo los de la diagonal principal) está lleno, y deje $e_1=(1,0,0,\ldots,0)^\top$. Entonces $$ A=\pmatrix{1&e_1^\la parte superior de la L^\top\\ Le_1&xLL^\top} =\pmatrix{1\\ &L} \underbrace{\pmatrix{1&e_1^\top\\ e_1&xI_{n-1}}}_B \pmatrix{1\\ &L^\top}. $$ Por lo tanto,$\det(A)=\det(B)$. Usando el complemento de Schur, si $x$ es indeterminado, tenemos $\det(B)=\det(xI_{n-1})\det(1-\frac1x e_1^\top e_1)=x^{n-1}(1-\frac1x)$. Por lo tanto $\det(A)=x^{n-2}(x-1)$.