Espacio conectado y coberturas abiertas

Question

Quiero demostrar la siguiente afirmación.

Si $X$ es un espacio conexo, entonces toda cobertura abierta $\{U_j:j\in J\}$ tiene la siguiente propiedad: para cada par $U_{j_1},U_{j_n}$ hay un número finito de $U_{j_2},...,U_{j_{n-1}}$ tal que $U_{j_i}\cap U_{j_{i+1}}\neq\emptyset$ por cada $i\in\{1,...,n-1\}$ .

Y probé esto:

Supongamos lo contrario. Existe una cobertura abierta $\{U_j:j\in J\}$ y $U_{j_1},U_{j_n}$ tal que para cada $U_{j_2},...,U_{j_{n-1}}$ existe $i\in\{1,...,n-1\}$ con $U_{j_i}\cap U_{j_{i+1}}=\emptyset$ . Quiero probar $X$ no está conectado.

Por ejemplo, si consideramos una subfamilia vacía, debemos obtener $U_{j_1}\cap U_{j_{n}}=\emptyset$ . Si $U$ es otro elemento de la cobertura abierta, entonces $U\cap U_{j_1}=\emptyset$ o $U\cap U_{j_n}=\emptyset$ . Entonces traté de probar algo así:

$$X=U_{j_1}\cup U_{j_n}\cup\bigcup_{j\in J\setminus\{j_1,j_n\}}U_j$$

Pero no sé realmente si estos conjuntos son disjuntos.

¿Alguien puede darme una pista?

Gracias.

Answer 1

La técnica de prueba común es la siguiente. Fijar una tapa abierta $\mathscr U$ y un punto $x \in X$ . A continuación, defina un subconjunto $X' \subset X$ donde decimos $y \in X'$ si y sólo si existe alguna "cadena" finita $\{U_1, U_2, \ldots , U_n\} \subset \mathscr U$ tal que $x \in U_1$ Cada uno de ellos $U_m \cap U_{m+1} \ne \varnothing$ y $y \in U_n$ . Mostrar $X'$ es tanto abierto como cerrado (cerrado es más difícil). Por lo tanto, debemos tener $X' = X$ . Por último, demuestre que esto garantiza que cualquier par de elementos de cobertura puede ser conectado por una "cadena".