Unión de una notación de intersección

Question

¿Qué hace exactamente $\bigcup_{n=1}^\infty\bigg(\bigcap_{k=n}^\infty E_k\bigg)$ ¿que significa? Estoy confundido especialmente por $k$ en función de $n$ .

Answer 1

Una interpretación de alto nivel es que $x \in \bigcup_{n=1}^\infty \left( \bigcap_{k=n}^\infty E_k \right)$ si sólo hay un número finito de $k$ tal que $x \notin E_k$ .

Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que si $x \in \bigcup_{n=1}^\infty \left( \bigcap_{k=n}^\infty E_k \right)$ entonces debe haber un $n \geq 1$ tal que $x \in \bigcap_{k=n}^\infty E_k$ pero luego $x \in E_k$ para todos $k \geq n$ y, por lo tanto, si $x \notin E_k$ debe ser que $k$ está entre $1,2,\ldots,n-1$ .

En el sentido contrario, si $\{ k \geq 1 : x \notin E_k \}$ es finito, entonces tiene un elemento máximo $n$ . De ello se desprende que $x \in E_k$ para todos $k \geq n+1$ y así $x \in \bigcap_{k=n+1}^\infty E_k \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty \left( \bigcap_{k=n}^\infty E_k \right)$ .

Answer 2

Es una forma de tomar una especie de "límite" de una colección de conjuntos (el $\liminf$ ).

Cuando veas $\bigcup$ , piense $\exists$ Cuando veas $\bigcap$ , piense $\forall$ .

Así, lo anterior sería $x \in \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty E_k$ si $\exists n \geq 1$ tal que $\forall k \geq n$ , $x \in E_k$ .

Answer 3

Para cualquier número individual $n$ , $$\bigcap_{k=n}^{\infty}E_k=E_n\cap E_{n+1}\cap\cdots$$ es un conjunto que podemos llamar $F_n$ . Entonces queremos $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n$ .

Answer 4

Para cada número entero positivo $n$ se calcula la intersección

$$\bigcap_{k=n}^\infty E_k=E_n\cap E_{n+1}\cap E_{n+2}\cap\dots\,;$$

llamar a este conjunto $T_n$ . Ahora se calcula la unión de todos los conjuntos $T_n$ :

$$\bigcup_{n=1}^\infty\left(\bigcap_{k=n}^\infty E_k\right)=\bigcup_{n=1}^\infty T_n\;.$$

$T_n$ es el conjunto de todos los puntos que están en cada $E_k$ de $E_n$ en; podríamos decir que estos son los puntos que están en cada miembro de la $n$ -en cola de la secuencia $\langle E_k:k\in\Bbb Z^+\rangle$ de conjuntos. Los más grandes $n$ es, más fácil es estar en $T_n$ Por ejemplo, para estar en $T_7$ tienes que estar en $E_7$ (y cada $E_k$ con $k\ge 7$ ), pero para estar en $T_{17}$ no tienes que estar en $E_7$ (o en $E_8,E_9,\dots,E_{15}$ o $E_{16}$ ). Así, $T_1\subseteq T_2\subseteq T_3\subseteq\dots$ y la unión de estos conjuntos $T_n$ puede ser mayor que cualquiera de los individuos $T_n$ 's.

Answer 5

Se trata de un límite-mínimo de una colección de conjuntos $E_k$ . Piensa en $\cap_{k=n}^\infty E_k =E_n\cap E_{n+1}\cap\ldots$ Así que tomar el sindicato por encima de $n$ define esos puntos $x$ que pertenecen a alguna cola $E_n\cap E_{n+1}\cap\ldots$ . Más concretamente, un punto $x$ pertenece a $\cup_{n=1}^\infty \left(\cap_{k=n}^\infty E_k\right)$ si existe un $n=n(x)$ (que depende de $x$ ) con $x\in \cap_{k=n(x)}^\infty$ . En otras palabras, $x$ pertenece a cada $E_i$ para todos $i\geq n(x)$ .