$\mathbb{R}[X,Y]/(Y-X^2,Y+X)\cong_\text{Ring} \mathbb{R}\times \mathbb{R}$

Question

Tengo el siguiente problema:

Dejemos que $R:=\mathbb{R}[X,Y]/(Y-X^2,Y+X)$

i) Demuestre que $R\cong_\text{Ring} \mathbb{R}\times \mathbb{R}$

ii) Concluir que $|\operatorname{Spec}R|=2$ . ¿Cómo son estos dos ideales?

Así que para la primera me dieron la pista de eliminar una variable a la vez y ver qué pasa. Haciendo eso obtuve:

$1.) \mathbb{R}[X]/(-X^2,X)\cong \mathbb{R}[X]/(-X^2)\times\mathbb{R}[X]/(X)\cong\mathbb{R}[X](-X^2)\times \mathbb{R}$

$2.) \mathbb{R}[Y]/(Y,Y)=\mathbb{R}[Y]/(Y)\cong\mathbb{R}$

utilizando el teorema del resto chino en $1.)$ . Pero como $\mathbb{R}[X]/(-X^2,X)\times\mathbb{R}[Y]/(Y)\ncong\mathbb{R}[X,Y]/(Y-X^2,Y+X)$ y el hecho de que todavía hay $\mathbb{R}[X]/(-X^2)$ que queda en la primera ecuación, no veo cómo esto me lleva al isomorfismo deseado. Para la segunda no veo cómo un isomorfismo puede llevarme al número de ideales, porque estoy bastante seguro de que $A\cong B$ no implica $\operatorname{Spec}A \cong \operatorname{Spec}B$ para anillos $A,B$ (Lo he visto en un libro).

¿Puede alguien ayudarme con este problema? Gracias de antemano.

Answer 1

La sugerencia de "eliminar una variable a la vez" sugiere sustituir $Y$ por $-X$ como módulo $\langle Y - X^2, Y + X\rangle$ son iguales (o $Y$ por $X^2$ o $X$ por $-Y$ ). Así que

$$R = {\mathbb R}[X,Y]/\langle Y-X^2,Y+X\rangle \cong {\mathbb R}[X]/\langle -X - X^2\rangle = {\mathbb R}[X]/\langle X(X+1)\rangle.$$

Ahora puedes aplicar el Teorema del Resto Chino para obtener

$$R \cong {\mathbb R}[X]/\langle X\rangle \times {\mathbb R}[X]/\langle X+1\rangle \cong {\mathbb R} \times {\mathbb R}.$$

Los ideales primos del anillo final ${\mathbb R} \times {\mathbb R}$ son ${\mathbb R} \times \{0\}$ y $\{0\} \times {\mathbb R}$ Así que $| \text{Spec}(R) | = 2$ . (Tenga en cuenta que es es cierto que si $A \cong B$ como anillos, entonces $\text{Spec}(A) \cong \text{Spec}(B)$ ).