Hay $2$ maternidad en la ciudad. En el primer hospital $50$ niños nacen cada día, en el segundo $100$ niños.
¿En qué hospital es más frecuente que el número de niños y niñas recién nacidos sea el mismo? ¿Por qué?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Oli
Puntos
89
Haz las suposiciones habituales (falsas) de independencia, e igualdad de probabilidad de chica y chico.
La probabilidad de que el hospital más pequeño tenga el mismo número de niñas y niños es $$\binom{50}{25}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}.$$
En el hospital más grande, la probabilidad es
$$\binom{100}{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{100}.$$
Queremos comparar estos números bastante complicados. La aproximación de Stirling es exagerada, pero da como resultado que la relación entre el primer número y el segundo es de aproximadamente $\sqrt{2}$ . (Esto viene de $\sqrt{100/50}$ .) Así que no sólo sabemos que la probabilidad de igualdad es mayor en el hospital más pequeño, también sabemos por cuánto aproximadamente.
Podemos hacerlo con menos maquinaria. La idea es demostrar que si aumentamos el número de nacimientos en $2$ la probabilidad de igualdad disminuye.
Con $2n$ nacimientos, la probabilidad de igualdad es $$\binom{2n}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}.$$ Con $2n+2$ nacimientos, la probabilidad es $$\binom{2n+2}{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+2}.$$ Calcule la proporción. Al expresar los coeficientes binomiales en términos de factoriales, obtenemos una gran cantidad de cancelaciones. El cociente resulta ser $$\frac{4(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)},$$ que se simplifica a $1+\dfrac{1}{2n+1}$ , un número $\gt 1$ .
Observación: Si desea continuar mucho más informalmente, calcular la probabilidad de igualdad de sexos en $2$ nacimientos, $4$ , $6$ , $8$ y $10$ . Habrá una disminución constante.
Un número sorprendente de personas cree que la probabilidad de igualdad de cara y cruz aumenta a medida que aumenta el número de lanzamientos. Es completamente falso.
