La normalización noether es un proceso inductivo sobre el número de generadores de un afín $k$ --Álgebra $A=k[x_1,\ldots,x_n]$ .
Al principio se comprueba si el $x_1,\ldots,x_n$ son algebraicamente independientes sobre el campo $k$ . Si lo son, estás acabado.
De lo contrario, tienes un polinomio $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ que se cumple con el $x_i$ .
Tu siguiente objetivo es encontrar un automorfismo $\phi:A \to A$ mit $x_i \mapsto y_i$ , $y_i \in A$ para que $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ se asigna a $g(y_1,\ldots,y_n) = 0$ donde $g$ tiene la forma
$$(**) \quad\quad y_1^N + a_{1}(y_2,\ldots,y_n) y_1^{N-1} + \cdots + a_N(y_2,\ldots,y_n)$$
Esto le muestra explícitamente que $A=k[y_1,\ldots,y_n]$ es integral sobre el subring $B=k[y_2,\ldots,y_n]$ y ahora se puede proceder inductivamente como $B$ es un afín $k$ --álgebra con un generador menos.
Ahora volvemos al paso decisivo de elegir $\phi$ para que $y_1$ es "señalado" en $g(y_1,\ldots,y_n) = 0$ .
Se utilizan esencialmente dos sustituciones. Una es más general y la otra se aplica si $k$ es infinito (o algebraicamente cerrado).
Dejemos que $f(x_1,\ldots,x_n) = \sum a_{i_1,\ldots,i_n} x_1^{i_1} \cdot \cdots \cdot x_n^{i_n}$ y dejemos sin restricción de generalidad $x_1$ aparecen explícitamente en $f$ .
A continuación, elija $x_1 = y_1$ y $x_i = y_i + y_1^{D^{i-1}}$ . Entonces
$$ \begin{multline} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n} \mapsto y_1^{i_1} y_1^{D^1 i_2} y_1^{D^2 i_3} \cdots y_n^{D^{n-1} i_n} + r(y_1,y_2,\ldots,y_n) = \\ y_1^{i_1 + D i_2 + D^2 i_3 + \cdots + D^{n-1} i_n} + r(y_1,\ldots,y_n) \end{multline} $$ donde el poder de $y_1$ en $r$ es inferior a $N_{i_1,\ldots,i_n} = i_1 + D i_2 + \cdots + D^{n-1} i_n$ .
Ahora bien, si eliges $D$ más grande que la mayor ocurrencia $i_\nu$ de los exponentes, todos los $N_{i_1,\ldots,i_n}$ son diferentes (piense en $D$ --adictos enteros) y el más grande es el $N$ de la fórmula (**) anterior.
Se trata de las sustituciones más generales, que funcionan independientemente de la naturaleza de $k$ .
El otro es $x_1 = y_1$ y $x_i = y_i + \alpha_i y_1$ , donde $\alpha_i \in k$ . Entonces se obtiene
$$ \begin{multline} x_1^{i_1} \cdot \cdots \cdot x_n^{i_n} \mapsto \alpha_2^{i_2} \cdots \alpha_n^{i_n} y_1^{i_1+\cdots+i_n} + r(y_1,\ldots,y_n) \end{multline} $$
donde el grado de $y_1$ en $r$ es menor que $M_{i_1,\ldots,i_n} = i_1 + \cdots + i_n$ . Si ahora
$$f = f_d + f_{d-1} + \cdots + f_0$$
es la división en componentes homogéneos, entonces
$$g(y_1,\ldots,y_n) = f_d(1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) y_1^d + r(y_1,\ldots,y_n)$$
donde el grado de $y_1$ en $r(y_1,\ldots,y_n)$ es menor que $d$ .
Así que tienes de nuevo $g$ en la forma $(**)$ cuando elija $\alpha_i$ tal que $f_d(1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) \neq 0$ que siempre es posible si $k$ es infinito.
