$\Delta u(x) \ge 0\iff u(x_0) \le \frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)}u(x_0+ry)d\sigma(y)$

Question

Dejemos que $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ abierto y $u\in C^2(\Omega)$ . Demostrar que las propiedades siguientes son equivalentes:

a) $\Delta u(x) \ge 0$ para todos los $x\in \Omega$

b) Para todos $x_0\in\Omega$ y todos $r>0$ tal que $\overline{B_r(x_0)}\subset \Omega$ es cierto que $$u(x_0) \le \frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)}u(x_0+ry)d\sigma(y)$$

Sugerencias:

Sugerencia: para $1\to 2$ , estudiar la derivada de $$g(t) = \frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)}u(x_0+ty)d\sigma(y), 0\le t\le r$$

Para $2\to 1$ escribe la expansión de taylor de rder $2$ de $u$ alrededor de $x_0$ y el uso:

Dejemos que $\Omega$ sea un abierto acotado de $\mathbb{R}^N$ y considerar una secuencia > $\{u_j\}$ de funciones armónicas en $\Omega$ cada una de ellas continua >en $\overline{\Omega}$ . Supongamos que $$\max_{y\in \partial\Omega}|u_j(y)-u_k(y)|\le \frac{1}{j}+\frac{1}{k}, \ k,k=1,2,\cdots$$ Entonces $\{u_j\}$ converge uniformemente en $\overline{\Omega}$ para una función $u\in C(\overline{\Omega})$ que sigue siendo armónico en $\Omega$

Así que para resolver $a)\implies b)$ Debo estudiar

$$g'(t) = \frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)}\sum_i\partial u_i(x_0+ty)y_i d\sigma(y)$$

¿puedo hacerlo? Tomar la derivada dentro de la integral. Bueno, veo que la suma de las primeras derivadas aparecen dentro de la integral. Quizás si vuelvo a tomar la derivada llego al laplaciano dentro de la integral pero no hay donde ir desde ahí.

Para resolver $b)\implies a)$ Lo hice:

$$u(x_0+ry) = u(x_0) + r\nabla u(x_0)^Ty + \frac{1}{2}r^2y^t\nabla^2 u(x_0+try)y$$

para algunos $t\in (0,1)$

Creo que debo considerar dos versiones de esta expansión y pensar en el máximo de la diferencia de su suma absoluta. Sé que las expansiones de Taylor tienen límites para los términos de error, pero no creo que la diferencia de dos expansiones los tenga $\frac{1}{j}+\frac{1}{k}$ los límites.

ACTUALIZACIÓN:

$\rightarrow$

Probemos la pista que se da a continuación:

$$g'(t)=\frac{1}{\omega_N}\int_{\partial \mathbb{S}_1(0)}\nabla u(x_0+ty)\cdot yd\sigma(y) = \frac{1}{\omega_N}\int_{B_1(0)}\Delta u(x_0+ty)\ d\sigma(y)\ge 0$$

Así que $g'$ es la media luna. $g(0) =\frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)}u(x_0)\ d\sigma (y) = u(x_0)$ . Así que para $r>0$ tenemos $g'(0)\le g'(r)$ que implica el resultado.

$\leftarrow$

Ahora, para el converse por hipótesis y por la expansión de taylor tenemos:

$$u(x_0) \le \frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)} u(x_0+ry) = \\ \frac{1}{\omega_N}\int_{S_1(0)} \left(u(x_0) + r\nabla u(x_0)^Ty + \frac{1}{2}r^2y^t\nabla^2 u(x_0+try)y\right)\ d\sigma(y)$$

para algunos $t\in (0,1)$

Debo encontrar de alguna manera $u_j$ y $u_k$ ambos armónicos para utilizar ese resultado y encontrar otra función armónica

Answer 1

Ya que parece que has resuelto el $(a) \implies (b)$ parte, me centraré en $(b) \implies (a)$ . Supongamos que $u \in C^2(\Omega)$ satisface la condición (b). Entonces, por el teorema de Taylor, $$u(x_0+ry) = u(x_0) + r\nabla u(x_0)^Ty + \frac{1}{2}r^2 y^T \nabla^2u(x_0)y + o(r^2).$$ Ahora, la integración da $$u(x_0) \le \frac{1}{\Omega_n} \int_{S^1} u(x_0) + r\nabla u(x_0)^Ty + \frac{1}{2}r^2 y^T \nabla^2u(x_0)y + o(r^2)\;d\sigma(y)$$ Afirmo que $$\frac{1}{\Omega_n} \int_{S^1} u(x_0) + r\nabla u(x_0)^Ty + \frac{1}{2}r^2 y^T \nabla^2u(x_0)y + o(r^2)\;d\sigma(y) = u(x_0) + C\frac{N}{2}r^2 \Delta u(x_0) + o(r^2)$$ para ver por qué, fíjate que por simetría, $$\int_{S^1} \nabla u(x_0)^Ty d\sigma(y) = \int_{S^1} \nabla u(x_0)^T(-y) d\sigma(y)$$ ya que la esfera es simétrica bajo inversiones. Del mismo modo, considerando las reflexiones de los ejes de coordenadas, podemos ver que $$\int_{S^1} \partial_{x_ix_j} u(x_0) y_iy_j d\sigma(y) = 0 \text{ for } i \neq j$$ así que $$\int_{S^1} y^T \nabla^2u(x_0) y \;d\sigma(y) = \Delta u(x_0) \int_{S^1} y_i^2\;d\sigma(y) = C\Delta u(x_0)$$

Así, $$u(x_0) \leq u(x_0) + Cr^2\Delta u(x_0) + o(r^2).$$

Ahora, supongamos por contradicción que $\Delta u(x_0) < 0$ . Entonces, para $r$ suficientemente pequeño, el $o(r^2)$ es inferior a $-Cr^2 \Delta u(x_0)$ contradiciendo la condición (b). De ello se desprende que $\Delta u(x_0) \ge 0$ por cada $x_0$ que es precisamente la condición (a).