Una pregunta trivial sobre las series de potencias (funciones analíticas)

Question

dejar $ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} $ serie convergente absoluta con radio convergente $ R>0 $

Supongamos que $ a_0,a_1,a_2,...a_{m-1}=0 $

así que $ f\left(x\right)=\sum_{n=m}^{\infty}a_{n}x^{n}=x^{m}\left(\sum_{n=m}^{\infty}a_{n}x^{n-m}\right) $
Quiero reclamar la serie $ \sum_{n=m}^{\infty}a_{n}x^{n-m} $
también convergente con el mismo radio. ¿Esta forma de demostrarlo es correcta?

utilizar la prueba de comparación de límites:

$ |\frac{a_{n}x^{n-m}}{a_{n}x^{n}}|=|x^{-m}|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}|x^{-m}| $

por lo que para cada $ x\in\left(0,R\right)\cup\left(-R,0\right) $ la serie es absolutamente convergente por la prueba de comparación de límites. para $ x=0 $ es trivial.

¿Es correcto o me estoy perdiendo algo? Gracias.

Answer 1

Sí, esto funciona. También se puede notar que como se puede calcular el radio de convergencia explícitamente como el inverso de $\limsup_{n \rightarrow \infty} \vert a_n\vert^{1/n}$ . Entonces tu pregunta se reduce a preguntar si una secuencia y cualquiera de sus colas convergen al mismo valor, lo cual es cierto.