Definición del haz de Higgs

Question

Actualmente, trato de abordar la definición de un haz de Higgs:

La definición es: $(E, \varphi)$ se llama haz de Higgs, si

$E$ es un haz vectorial holomorfo y

$\varphi$ es una 1 forma holomórfica con valores en $End(E)$ , s.t. $\varphi \wedge \varphi=0$

Ahora no estoy seguro de qué forma holomorfa 1 con valores en $End(E)$ . ¿Es una sección de $T^{*}M \otimes End(E)$ ? Dado que la definición de una 1 forma en general es que es una sección en $T^{*}M$ .

Además, estoy leyendo un documento donde dice

Porque $\varphi$ toma valores en la representación adjoint podemos pensar en ella localmente como una $n \times n$ matriz de formas únicas holomorfas - que podemos tomar para actuar en la fibra de $E$ .'

No entiendo qué significa aquí 'toma valores en la representación adjunta y cómo se relaciona con la definición anterior.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Sí, desgraciadamente, la definición estándar (como la del artículo de la Wikipedia y la del artículo enlazado de AMS Notices) es chapucera, aunque, uno puede acostumbrarse a ella.

1. Una 1 forma holomórfica $\phi$ (en una variedad compleja $M$ ) con coeficientes en un haz vectorial holomorfo $V\to M$ es un holomorfo sección del haz de vectores $T^{(1,0)*}M \otimes V$ . (Al abusar de la terminología, se identifica $T^{(1,0)*}_xM$ y $T^*_xM$ .)

Suponiendo que $M$ es $m$ -y la de los demás. $V=End(E)$ el haz de endomorfismos de un haz vectorial holomorfo $E\to M$ que tiene un rango finito $n$ se puede escribir $\phi$ (en coordenadas holomórficas locales) como $$ \sum_{j=1}^m A_j(z) dz^j, $$ donde cada $A_j$ es un mapa holomorfo $U\to Mat_{n\times n}({\mathbb C})=End({\mathbb C}^n)$ y $U\subset {\mathbb C}^m$ es un subconjunto abierto adecuado. Esto es lo que significa para $\phi$ para que sea una 1 forma holomorfa con valor matricial o una matriz de 1 forma holomorfa.

Las palabras representación adjunta son irrelevantes aquí.

2. La representación adjunta es importante cuando se quiere dar sentido a la ecuación $\phi\wedge \phi=0$ . Si $\phi$ fuera una 1 forma escalar-valorada, entonces el producto cuña sería la antisimetrización del producto tensorial de $(1,0)$ -formas. La cuestión es cómo tratar un campo tensorial que es una sección de $T^{(1,0)*}M \otimes E$ . Lo que se utiliza en el contexto de los campos de Higgs es el Soporte de la mentira en $End({\mathbb C}^n)$ : $$ [a,b]= ab-ba, a, b\in End({\mathbb C}^n). $$ Esta última es el álgebra de Lie ${\mathfrak g}$ de $GL_n({\mathbb C})$ y el representación adjunta de esta álgebra de Lie es la representación dada por el soporte de Lie: $$ a\mapsto [a, \cdot], a\in {\mathfrak g}. $$ La expresión $\phi\wedge \phi$ es entonces el producto cuña habitual en $T^{(1,0)*}M$ y el corchete de Lie de los coeficientes (valorados por la matriz). En coordenadas locales, $$ A(z)dz^i \wedge B(z) dz^j= [A(z), B(z)]dz^i \wedge dz^j. $$ En otras palabras, la ecuación $\phi\wedge \phi=0$ significa simplemente que las matrices $A_i(z), A_j(z)$ conmutan (para todos los $z$ y todos $i, j$ ): $$ [A_i(z), A_j(z)]= 0, 1\le i< j\le m, z\in U. $$ Si $M$ es una superficie de Riemann, entonces esta condición se satisface automáticamente. (Cada matriz, por supuesto, conmuta consigo misma).

Así, la jerga con coeficientes en la representación adjunta significa la regla anterior para definir el producto en cuña de las secciones de $T^{(1,0)*}M \otimes End(E)$ .