Supongamos que $p$ y $q = 2p + 1$ son ambos primos Impares. Demuestre que el $p − 1$ raíces primitivas de $q$ son precisamente los no-residuos cuadráticos de $q$ que no sea el no-residuo cuadrático $2p$ de $q$ .
Creo que probablemente tenga que usar el hecho de que $q$ es congruente con $3 \rm\, mod\, 4$ pero he estado trasteando con las definiciones y no consigo llegar a ningún sitio. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.
Posiblemente conozca el resultado que dice que si $n$ tiene una raíz primitiva, entonces $n$ tiene $\varphi(\varphi(n))$ raíces primitivas.
En el caso $q=2p+1$ el número de raíces primitivas de $q$ es por lo tanto $\varphi(2p)$ que es $p-1$ . Pero $p-1=\frac{q-1}{2}-1$ . Dado que hay $\frac{q-1}{2}$ no-residuos cuadráticos de $q$ y toda raíz primitiva es un no-residuo, se deduce que todos los no-residuos menos uno son raíces primitivas.
Desde $q$ es de la forma $4k+3$ sabemos que $-1$ es un no-residuo. Pero $-1$ no es una raíz primitiva de $q$ ya que $q\gt 3$ . Así que $-1$ es el único no-residuo que no es una raíz primitiva.
SUGERENCIA: El grupo multiplicativo de residuos no nulos mod $q$ es cíclico y tiene orden $2p$ . Los posibles órdenes de los elementos son $1,2,p,2p$ desde $p$ es primo [aquí es donde $p$ ser primo entra]. Hay que averiguar qué elementos tienen qué orden, lo que es simplemente un análisis del grupo cíclico.
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