Una función $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es analítica en el disco abierto $|z|<1$ . Tengo una integral $I = \int\limits_{C} f(z) \frac{P(z)}{Q(z}$ donde $C$ es $|z| = 1$ y $P(z)$ y $Q(z)$ son polinomios. Me gustaría preguntar cómo podría hacer para evaluar dicha integral.
EDITAR :
$f$ está definida y es continua en el disco unitario cerrado.
Aplicar el teorema del residuo a los círculos $\gamma_{1-\epsilon}$ de radio $1-\epsilon$ . Si $Q$ no tiene ningún cero en el círculo unitario, entonces la integral $\int_{\gamma_{1 -\epsilon}}\ldots \ $ convergerá a $\int_{\gamma_1}\ldots \ $ con $\epsilon \to 0+$ .
Esto significa que $$\int_{\gamma_1} f(z){P(z)\over Q(z)}dz=\lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\gamma_{1-\epsilon}} f(z){P(z)\over Q(z)}dz=2\pi i\ \lim_{\epsilon\to 0+} \sum_{z\in D_{1-\epsilon}}{\rm res}\Bigl(f(z){P(z)\over Q(z)}\Bigr)\ ,$$ y este último límite es, por supuesto, igual a $$\sum_{z\in D}{\rm res}\Bigl(f(z){P(z)\over Q(z)}\Bigr)\ ,$$ como se esperaba.
La integral de contorno puede reducirse a la integral alrededor de las singularidades del integrando. Estas últimas coinciden con las singularidades de $Q(z)$ en el denominador - en otras palabras, ceros de $Q(z)$ .
El resultado es $2\pi i$ veces la suma de los residuos. Los residuos son los coeficientes de $1/(z-z_i)$ en la expansión de Laurent del integrando alrededor de las raíces $z=z_i$ de $Q(z)$ . Si $Q(z)$ sólo tiene raíces simples, el $i$ El residuo es sólo $$\lim_{z\to z_i} f(z_i)P(z_i) (z-z_i)/Q(z_i)$$
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