Si cualquier ecuación diferencial es dada por $f''(x)+f'(x)+f^2(x) = x^2\;,$ Entonces $f(x)=$

Question

<blockquote> <p>Si cualquier ecuación diferencial es dada por $f''(x)+f'(x)+f^2(x) = x^2\;,$ Entonces $f(x)=$ </p> </blockquote> <p>$\bf{My\; Try:}$ </p> <p>Podemos escribir la ecuación diferencial anterior como $$e^xf''(x)+e^xf'(x)+e^x\cdot (f(x))^2 = e^x\cdot x^2$$</p> <p>Así que $$\frac{d}{dx}\left[e^x\cdot f'(x)\right] = e^x\cdot x^2-e^x(f(x))^2$</p> <p>Ahora, ¿Cómo puedo proceder después de eso, ayudarme</p> <p>gracias.</p>

Answer 1

Usando el truco de la serie de energía obtenemos eso:

\begin{align} &f(x) = \sum_{k=0}^\infty akx^k\ &f'(x) = \sum{k=0}^\infty a{k+1}(k+1) x^k\ &f''(x) = \sum{k=0}^\infty a{k+2}(k+1)(k+2)x^k\ &f(x)^2 = \sum{k=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^k aia{k-i} \right)x^k \end{align}

Insertando esto en la ecuación tenemos que: $$ (k+1) (k+2)a{k+2}+(k+1)a{k+1}+\sum_{i=0}^k aia{k-i} = \delta_{k,2}, \quad \mbox{for } k\geq 0. $$

Observando que $a_0 = f(0)$ podemos resolver sucesivamente la ecuación de recurrencia para encontrar una solución. Como observación lateral sabemos (ya que los coeficientes en el ODE son enteros) que el radio de convergencia es infinito (Fuchs teorema - si recuerdo correctamente).