Expectativa e intervalos de confianza de un proceso de Poisson

Question

Un proceso de Poisson tiene PDF

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!}$$

Estoy tratando de encontrar una expresión para:

1. $E[X | \lambda, t]$
2. Intervalos de confianza (es decir, encontrar $\delta$ tal que $P(\bar{x}-\delta<X<\bar{x}+\delta)=c$ para algunos $c$ )

Para encontrar la expectativa, he observado que

$$E[X]=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k k}{k!}=e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda t)^k}{(k-1)!}$$

Pero no tengo ni idea de cómo ir más allá. He leído en la wikipedia que la media de una distribución de Poisson es $\lambda$ - ¿significa esto que la media de un proceso de Poisson es sólo $\lambda t$ ? ¿Y del mismo modo su varianza, supongo?

EDIT: He avanzado un poco más a partir del comentario de procrastinator, pero creo que he cometido un error.

Dejemos que $x=\lambda t$ y definir $(-n)!=(n!)^{-1}$ . Entonces tenemos

$$e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{(k-1)!}=e^{x}x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=e^{x}x\left(x^{-1}+e^{x}\right)=e^x+xe^{2x}$$

Lo que no parece ser igual a $x$ como debería. ¿Dónde me he equivocado?

Answer 1

Para dar la sugerencia opuesta a la de Bart, iba a recomendar la teoría de anillos conmutativos de Matsumura en contraposición a su álgebra conmutativa. He dicho por qué extensamente en el hilo de "preguntas sin respuesta" haciendo exactamente la pregunta de Pete. Brevemente, la teoría de anillos es más clara, mejor organizada, argumentada de forma más completa, con más ejercicios (y respuestas), referencias, con un mejor índice, y más fácil de leer. Probablemente porque Miles Reid lo tradujo al inglés, y posiblemente también porque Matsumura llegó a revisar su primer libro, que era casi un conjunto de apuntes de clase (excelentes, y avanzados). Al menos a dos de los que tomamos la clase de Matsumura en 1967 (Sevin Recillas y yo) parece gustarnos el segundo libro. Sevin lo tenía y lo recomendó cuando me quejé de que tenía dificultades para utilizar el libro original. Como estoy juzgando sobre la base de lo que aparece en Amazon, no puedo estar seguro de que contenga todos los resultados que quiero consultar, pero por el índice de contenidos supongo que sí. También me gusta Zariski y Samuel por su claridad, pero los métodos homológicos se introdujeron justo cuando se terminó ese libro.