¿Es esto un teorema (es correcto?)?

Question

En mis apuntes de instrucción se ha especificado un teorema de transposición de matrices que si hay dos matrices compatibles $A$ y $B$ con respecto a sus sumas y productos, entonces:

$(AB)^T =A^TB^T$

Así que me puse a verificar si efectivamente esto es correcto:

Dejemos que $A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ 6 & 4\end{pmatrix} $

Dejemos que $B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 7 & 3\end{pmatrix} $

$A^T=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 2 & 4\end{pmatrix} $

$B^T=\begin{pmatrix}1 & 7 \\ 0 & 3\end{pmatrix} $

$(AB) = \begin{pmatrix}2 & 6 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 7 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}16 & 6 \\ 34 & 12\end{pmatrix} $

por lo que $(AB)^T=\begin{pmatrix}16 & 34 \\ 6 & 12\end{pmatrix}$

y.... $A^TB^T=\begin{pmatrix}2 & 6 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 7 \\ 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 32 \\ 2 & 26\end{pmatrix}$

$\therefore (AB)^T\neq A^TB^T $

¿El teorema es incorrecto o me cuesta entenderlo?

Answer 1

La afirmación es falsa; lo que es cierto es que $$ (AB)^T=B^TA^T $$ lo que puede demostrarse fácilmente. En realidad, el producto $A^TB^T$ no es necesario definirlo cuando el producto $AB$ está definida, por lo que la igualdad no tiene sentido a menos que ambas matrices sean cuadradas. Sin embargo, la igualdad no suele cumplirse en este caso.

Veamos qué pasa si además tienes, por dos cuadrado matrices, $(AB)^T=A^TB^T$ : \begin {reunir} A^TB^T=B^TA^T \\ (A^TB^T)^T=(B^TA^T)^T \\ (B^T)^T(A^T)^T=(A^T)^T(B^T)^T \\ BA=AB \end {reunir} Por el contrario, es obvio que de $AB=BA$ se puede deducir $(AB)^T=A^TB^T$ .

Así que la igualdad que se lee en las instrucciones está mal.