El hogar interno de complejos de cadenas $[-,-]$ se supone que forma un bifunctor $$\operatorname{Ch}_\bullet(\mathsf{Mod}_R)^\mathrm{op} \times \operatorname{Ch}_\bullet(\mathsf{Mod}_R) \to \operatorname{Ch}_\bullet(\mathsf{Mod}_R).$$
El mapa de límites en $[X,Y]$ distribuye sobre la composición de funciones como $d(\sigma \circ \tau ) = (d\sigma) \circ \tau + (-1)^{|\sigma|} \sigma \circ d\tau$ .
La funtorialidad en la primera variable dice que un mapa en cadena $W_\bullet \xrightarrow{f} X_\bullet[k]$ debería inducir una mapa de la cadena
$$[X_\bullet, Y_\bullet] \xrightarrow{f^*} [W_\bullet, Y_\bullet[k]] = [W_\bullet, Y_\bullet][k] \qquad \qquad \scriptscriptstyle{\dashleftarrow \text{ or should this be $ -k $? Doesn't seem to matter}}$$
Ahora bien, si $\sigma \in [X_\bullet, Y_\bullet]$ de grado $j$ entonces $$\require{cancel} d^{\operatorname{[W_\bullet,Y_{\bullet}][k]}}( \sigma \circ f) = (-1)^k d^{\operatorname{[W_\bullet,Y_{\bullet}]}}(\sigma \circ f) = (-1)^k \left( d\sigma \circ f + (-1)^{|\sigma|}\sigma \circ \cancel{df} \right) = (-1)^k d\sigma \circ f$$ $$ \neq d \sigma \circ f$$ Así que parece que no es un mapa en cadena. ¿Dónde me equivoco?
