Acotar una expresión simple

Question

Hola, ¿alguien sabe qué constante $C$ Podría poner aquí para que esta desigualdad sea correcta : para $a\in [0,1] $ $$ a^{1/5}+a^{4/21} \leq Ca^{4/21} $$

Answer 1

(Bajo el supuesto de que $0\leq a\leq 1$ ) Reordenando, encontramos $$ a^{1/105}\leq C-1, $$ por lo que claramente necesitamos $C\geq 1$ . Por otro lado, el lado izquierdo es creciente y asume su máximo en $a=1$ Por lo tanto $C=2$ está bien.

Answer 2

(Esto responde a la versión original de la pregunta. Para la versión actual, véase la respuesta alternativa).

Esto es imposible.

• Para cualquier $C > 1$ , $$a^{1/5}+a^{4/21} \leq Ca^{4/21} \iff a^{1/105} \le a^{1/5-4/21} \leq C-1,$$ por lo que cualquier $a > (C-1)^{105}$ viola la desigualdad anterior.
• Para cualquier $C \le 1$ , $$a^{1/5}+a^{4/21} \leq Ca^{4/21} \le a^{4/21} \iff a^{1/5} \le 0,$$ por lo que cualquier $a > 0$ viola la desigualdad anterior.